MATEMANIJA

Dokazati da broj [inlmath]4000\dots 09[/inlmath] nije potpun kvadrat (pri proizvoljnom broju nula pocevsi sa jednom)

Razmišljao sam, ali još uvek nemam rešenje.
Ideja mi je bila da za taj broj, [inlmath]4\cdot 10^n+9,\;n\in\mathbb{N},\;n\ge 2[/inlmath] prvo pretpostavim suprotno, tj. da jeste potpun kvadrat, ne bih li došao do kontradikcije. To bi značilo da je [inlmath]4\cdot 10^n+9=k^2,\;k\in\mathbb{N}[/inlmath], pa samim tim i da je [inlmath]4\cdot 10^n=k^2-9[/inlmath], tj. da je [inlmath]4\cdot 10^n=\left(k+3\right)\left(k-3\right)[/inlmath]. I onda sam pokušavao da iz toga izvučem kontradikciju...
Međutim, nisam siguran da li je to ispravan put.
Razmisliću još malo, a možda još neko bude imao neki predlog za rešavanje?

Za koji je nivo ovaj zadatak, pretpostavljam da je neko takmičenje?

Jeste, za takmicenje je.

Mislim da sam mopronašla rješenje ovog prvog zadatka.

Naravno iskoristila sam to što je Daniel veća radio, možda sam došla do kontradikcije.

Znači, oblik je [inlmath]4\cdot 10^n=(k+3)(k-3)[/inlmath] gdje je [inlmath]n>1[/inlmath]. Za najmanji mogući [inlmath]n=2[/inlmath] izraz na lijevoj strani je djeljiv sa [inlmath]100[/inlmath], kao što je to djeljiv i za svaki [inlmath]n>2[/inlmath], no to ne vrijedi za izraz na desnoj strani.

Naime [inlmath](k+3)(k-3)[/inlmath] je umnožak dva broja koji se razlikuju za [inlmath]6[/inlmath], pa takav jedan umnozak nikada ne može biti djeljiv sa [inlmath]100[/inlmath], jer [inlmath]100=2\cdot 2\cdot 5\cdot 5[/inlmath] i kao što vidimo broj [inlmath]100[/inlmath] možemo zapisato kao umnoške [inlmath]100=2\cdot 50,\:100=4\cdot 25,\:100=10\cdot 10,\:100=5\cdot 20[/inlmath] a razlika niti među koja dva faktora nije [inlmath]6[/inlmath].

Mislim da bi to mogla biti tražena kontradikcija, nisam baš sigurna, ali ja bi to tako napisala.

pozz

Hm, za trenutak sam se i ja bio ponadao da zaista imamo rešenje ovog zadatka, ali, nažalost, izgleda da sam našao kontraprimer – za [inlmath]k=97[/inlmath] ili [inlmath]k=103[/inlmath] izraz [inlmath]\left(k+3\right)\left(k-3\right)[/inlmath] će biti deljiv sa [inlmath]100[/inlmath].

istina, nisam o tome razmišljala, i to sada svaki koji završava sa [inlmath]97[/inlmath] ili [inlmath]03[/inlmath]... trebalo bi onda provjeriti što se događa u tim brojevima, kada jeste djeljiv sa [inlmath]100[/inlmath]

možda se može povezati sa ovom [inlmath]4[/inlmath]... jer ako je [inlmath]k=97[/inlmath], onda je umnožak [inlmath]100\cdot 94[/inlmath], tj [inlmath]9400[/inlmath] i kad ase on dijeli sa [inlmath]100[/inlmath] ostane faktor [inlmath]94[/inlmath] koji nije djeljiv sa [inlmath]4[/inlmath]... možda u tome ima nešto...

Drugim rečima, ispitati deljivost [inlmath]\left(k+3\right)\left(k-3\right)[/inlmath] sa [inlmath]400[/inlmath]? Ima i za to kontraprimera, [inlmath]k=197,\;k=203,\;k=397,\;k=403\dots[/inlmath]

Zapravo, za bilo koji zadati broj [inlmath]l\;\left(l\in\mathbb{N}\right)[/inlmath] moguće je naći broj [inlmath]k[/inlmath] takav da je [inlmath]l\:\:|\:\left(k+3\right)\left(k-3\right)[/inlmath].

mislim da tu s djeljivosti ne možemo napraviti puno, trebalo bi ispitati oblik broja [inlmath](k+3)(k-3)[/inlmath]... ako je točno sve prije kako smo pretpostavili on mora imati oblik [inlmath]4\cdot 10^l[/inlmath] gdje je [inlmath]l\in\mathbb{N}[/inlmath]

možda s tim može se nešto napraviti, ne znam...

Daniel je napisao:Ideja mi je bila da za taj broj, [inlmath]4\cdot 10^n+9,\;n\in\mathbb{N},\;n\ge 2[/inlmath] prvo pretpostavim suprotno, tj. da jeste potpun kvadrat, ne bih li došao do kontradikcije. To bi značilo da je [inlmath]4\cdot 10^n+9=k^2,\;k\in\mathbb{N}[/inlmath], pa samim tim i da je [inlmath]4\cdot 10^n=k^2-9[/inlmath], tj. da je [inlmath]4\cdot 10^n=\left(k+3\right)\left(k-3\right)[/inlmath]. I onda sam pokušavao da iz toga izvučem kontradikciju...

[inlmath]10^n[/inlmath] je uvijek cio broj... Kada obije strane podjelis sa [inlmath]4[/inlmath] dobices kontradikciju da je [inlmath]k^2[/inlmath] racionalan broj zato sto će biti [inlmath]\text{cio broj}=k^2-\frac{9}{4}[/inlmath] a to bi trebala biti kontradikcija sa onim "potpunim kvadratom". Znači da [inlmath]k^2=m+\frac{1}{4}\quad m\in\mathbb{N}[/inlmath].

nadam se da ovo nije provala