MATEMANIJA

Dokazati da broj [inlmath]4000\dots 09[/inlmath] nije potpun kvadrat (pri proizvoljnom broju nula pocevsi sa jednom)

Razmišljao sam, ali još uvek nemam rešenje.
Ideja mi je bila da za taj broj, [inlmath]4\cdot 10^n+9,\;n\in\mathbb{N},\;n\ge 2[/inlmath] prvo pretpostavim suprotno, tj. da jeste potpun kvadrat, ne bih li došao do kontradikcije. To bi značilo da je [inlmath]4\cdot 10^n+9=k^2,\;k\in\mathbb{N}[/inlmath], pa samim tim i da je [inlmath]4\cdot 10^n=k^2-9[/inlmath], tj. da je [inlmath]4\cdot 10^n=\left(k+3\right)\left(k-3\right)[/inlmath]. I onda sam pokušavao da iz toga izvučem kontradikciju...
Međutim, nisam siguran da li je to ispravan put.
Razmisliću još malo, a možda još neko bude imao neki predlog za rešavanje?

Za koji je nivo ovaj zadatak, pretpostavljam da je neko takmičenje?

Jeste, za takmicenje je.

Mislim da sam mopronašla rješenje ovog prvog zadatka.

Naravno iskoristila sam to što je Daniel veća radio, možda sam došla do kontradikcije.

Znači, oblik je [inlmath]4\cdot 10^n=(k+3)(k-3)[/inlmath] gdje je [inlmath]n>1[/inlmath]. Za najmanji mogući [inlmath]n=2[/inlmath] izraz na lijevoj strani je djeljiv sa [inlmath]100[/inlmath], kao što je to djeljiv i za svaki [inlmath]n>2[/inlmath], no to ne vrijedi za izraz na desnoj strani.

Naime [inlmath](k+3)(k-3)[/inlmath] je umnožak dva broja koji se razlikuju za [inlmath]6[/inlmath], pa takav jedan umnozak nikada ne može biti djeljiv sa [inlmath]100[/inlmath], jer [inlmath]100=2\cdot 2\cdot 5\cdot 5[/inlmath] i kao što vidimo broj [inlmath]100[/inlmath] možemo zapisato kao umnoške [inlmath]100=2\cdot 50,\:100=4\cdot 25,\:100=10\cdot 10,\:100=5\cdot 20[/inlmath] a razlika niti među koja dva faktora nije [inlmath]6[/inlmath].

Mislim da bi to mogla biti tražena kontradikcija, nisam baš sigurna, ali ja bi to tako napisala.

pozz

Hm, za trenutak sam se i ja bio ponadao da zaista imamo rešenje ovog zadatka, ali, nažalost, izgleda da sam našao kontraprimer – za [inlmath]k=97[/inlmath] ili [inlmath]k=103[/inlmath] izraz [inlmath]\left(k+3\right)\left(k-3\right)[/inlmath] će biti deljiv sa [inlmath]100[/inlmath].

istina, nisam o tome razmišljala, i to sada svaki koji završava sa [inlmath]97[/inlmath] ili [inlmath]03[/inlmath]... trebalo bi onda provjeriti što se događa u tim brojevima, kada jeste djeljiv sa [inlmath]100[/inlmath]

možda se može povezati sa ovom [inlmath]4[/inlmath]... jer ako je [inlmath]k=97[/inlmath], onda je umnožak [inlmath]100\cdot 94[/inlmath], tj [inlmath]9400[/inlmath] i kad ase on dijeli sa [inlmath]100[/inlmath] ostane faktor [inlmath]94[/inlmath] koji nije djeljiv sa [inlmath]4[/inlmath]... možda u tome ima nešto...

Drugim rečima, ispitati deljivost [inlmath]\left(k+3\right)\left(k-3\right)[/inlmath] sa [inlmath]400[/inlmath]? Ima i za to kontraprimera, [inlmath]k=197,\;k=203,\;k=397,\;k=403\dots[/inlmath]

Zapravo, za bilo koji zadati broj [inlmath]l\;\left(l\in\mathbb{N}\right)[/inlmath] moguće je naći broj [inlmath]k[/inlmath] takav da je [inlmath]l\:\:|\:\left(k+3\right)\left(k-3\right)[/inlmath].

mislim da tu s djeljivosti ne možemo napraviti puno, trebalo bi ispitati oblik broja [inlmath](k+3)(k-3)[/inlmath]... ako je točno sve prije kako smo pretpostavili on mora imati oblik [inlmath]4\cdot 10^l[/inlmath] gdje je [inlmath]l\in\mathbb{N}[/inlmath]

možda s tim može se nešto napraviti, ne znam...

Daniel je napisao:Ideja mi je bila da za taj broj, [inlmath]4\cdot 10^n+9,\;n\in\mathbb{N},\;n\ge 2[/inlmath] prvo pretpostavim suprotno, tj. da jeste potpun kvadrat, ne bih li došao do kontradikcije. To bi značilo da je [inlmath]4\cdot 10^n+9=k^2,\;k\in\mathbb{N}[/inlmath], pa samim tim i da je [inlmath]4\cdot 10^n=k^2-9[/inlmath], tj. da je [inlmath]4\cdot 10^n=\left(k+3\right)\left(k-3\right)[/inlmath]. I onda sam pokušavao da iz toga izvučem kontradikciju...

[inlmath]10^n[/inlmath] je uvijek cio broj... Kada obije strane podjelis sa [inlmath]4[/inlmath] dobices kontradikciju da je [inlmath]k^2[/inlmath] racionalan broj zato sto će biti [inlmath]\text{cio broj}=k^2-\frac{9}{4}[/inlmath] a to bi trebala biti kontradikcija sa onim "potpunim kvadratom". Znači da [inlmath]k^2=m+\frac{1}{4}\quad m\in\mathbb{N}[/inlmath].

nadam se da ovo nije provala

Nice try.

Ali, mislim da imaš grešku – kada desnu stranu, [inlmath]k^2-9[/inlmath], podelimo sa [inlmath]4[/inlmath], dobićemo [inlmath]\frac{k^2-9}{4}[/inlmath], a to nije isto što i [inlmath]k^2-\frac{9}{4}[/inlmath] kako si ti dobio.

Nema veze, super je što si pokušao. I dalje tragamo za rešenjem...

[dispmath]\begin{array}{ll}
n=0\;\;49\\
& +49+360\\
n=1\;\;409\\
& +49+360+3600\\
n=2\;\;4009\\
& +49+360+3600+36000\\
n=3\;\;40009\\
\ldots
\end{array}[/dispmath]
ovako ide ovaj niz pa na dalje sve mozda ovo da nekome da ideju, mi u skoli jos uvijek nismo ucili operacije sa nizovima...

srecno sa ovim zadatkom, izgleda da je tezak

[dispmath]4\cdot10^n+9=a^2[/dispmath][dispmath]4\cdot10^n=a^2-9[/dispmath][dispmath]4\cdot10^n=(a+3)\cdot(a-3)[/dispmath][dispmath]10^n=\frac{(a+3)}{2}\cdot\frac{(a-3)}{2}[/dispmath]
[inlmath]a[/inlmath] mora biti neparan broj [inlmath]\longrightarrow[/inlmath]
[dispmath]a=2k+1[/dispmath]
[dispmath]10^n=\frac{(2k+1+3)}{2}\cdot\frac{(2k+1-3)}{2}[/dispmath][dispmath]10^n=(k+2)\cdot(k-1)[/dispmath]
[inlmath]10[/inlmath] mozemo dobiti samo kao proizvod 2 kombinacije brojeva...
[dispmath]10^n\cdot1^n\mbox{ ili }5^n\cdot2^n[/dispmath]
a odmah se moze logicki zakljuciti da ne postoji takvo [inlmath]k[/inlmath] da bi ovaj proizvod imao oblik [inlmath]1^n\cdot10^n[/inlmath]
[dispmath]2^n\cdot5^n=(k+2)\cdot(k-1)[/dispmath][dispmath]2^n=k-1[/dispmath][dispmath]5^n=k+2[/dispmath]
krenucemo od predpostavke da se ovaj sistem moze rijesiti kada je [inlmath]n=1[/inlmath]
[dispmath]2=k-1;\;k=3[/dispmath][dispmath]5=k+2;\;k=3[/dispmath]
i sada vidimo da povecanjem [inlmath]n[/inlmath], ovaj sistem postaje nemoguc za rijesiti... kako [inlmath]n[/inlmath] raste, vrijednost obije jednacine ce se povecavati, ali ne i ravnomjerno, sto znaci da vise nikad nece postojati rijesenje tog sistema sem kad je [inlmath]n=1[/inlmath]

na primjer:

[dispmath]\underline{n=2}[/dispmath][dispmath]4=k-1\\
25=5+2[/dispmath]
[dispmath]\underline{n=3}[/dispmath][dispmath]8=k+1\\
125=k+2[/dispmath]
ovi sistemi nemaju rijesenja
i time smo, nadam se, ovo i dokazali...

Veoma zanimljiva ideja i vrlo verovatno se i radi na takav način. Svaka čast!

Jedino što me buni, to je ovaj korak:

Sinisa je napisao:[dispmath]2^n\cdot5^n=(k+2)\cdot(k-1)[/dispmath][dispmath]2^n=k-1[/dispmath][dispmath]5^n=k+2[/dispmath]

Iz [inlmath]2^n\cdot5^n=\left(k+2\right)\cdot\left(k-1\right)[/inlmath] ne sledi da mora biti [inlmath]\begin{matrix}2^n=k-1\\5^n=k+2\end{matrix}[/inlmath]. Može biti i, recimo, [inlmath]\begin{matrix}2^n\cdot5=k-1\\5^{n-1}=k+2\end{matrix}[/inlmath], ili [inlmath]\begin{matrix}2^n\cdot5^2=k-1\\5^{n-2}=k+2\end{matrix}[/inlmath] itd...

ali kada napise u tom obliku, dok [inlmath]n[/inlmath] ne bude vece u konkretnom slucaju od [inlmath]2[/inlmath] ispada da je [inlmath]k+2<k-1[/inlmath] a [inlmath]k[/inlmath] ne moze biti negativan broj
pa ako vidis da ti taj oblik nije tacan ni za ono gdje bi trebao da bude tacan ([inlmath]n=1[/inlmath]), mislim da je logicno da nikad nije ni tacan, valjda..

Nisam siguran da li sam dobro razumeo šta želiš reći... Ali, ako bismo uzeli da je [inlmath]\begin{matrix}2^n\cdot5=k-1\\5^{n-1}=k+2\end{matrix}[/inlmath], tada bismo mogli pokazati da je već za [inlmath]n\ge4[/inlmath] ispunjeno da je [inlmath]k-1<k+2[/inlmath]...

da, to je tacno... ali pri pisanju jednacina na taj nacin dobicemo 2 potpuno razlicita [inlmath]k[/inlmath], sada cu to i dokazati
[dispmath]5^n\cdot5^{-x}=k+2[/dispmath][dispmath]k=5^n\cdot5^{-x}-2[/dispmath]
znaci [inlmath]k[/inlmath] se zavrsava sa cifrom [inlmath]3[/inlmath]
[dispmath]2^n\cdot5^x=k-1[/dispmath][dispmath]k=2^n\cdot5^x+1[/dispmath]
[inlmath]k[/inlmath] se zavrsava uvijek sa cifrom [inlmath]1[/inlmath]

isto se dobije i kada uvrstis
[dispmath]2^n\cdot2^{-x}=k-1[/dispmath]
nadam se da je sada ovim potvrdjeno moje rijesenje

E, sad možemo reći da imamo kompletiran dokaz koji se traži. Svaka čast još jednom.

Čak, za slučaj [inlmath]2^n\cdot2^{-x}=k-1[/inlmath] nije ni potrebno na ovaj način dokazivati da je nemoguć, jer odmah vidimo da bi tada bilo [inlmath]2^x\cdot5^n=k+2[/inlmath], što znači da bi i [inlmath]k-1[/inlmath] i [inlmath]k+2[/inlmath], koji su očigledno različite parnosti, morali biti parni. Kontradikcija.

Nakon tacno dvije godine zadatak je napokon rijesen

Evo imam i ja jedno slično rješenje.Kada se dobije taj sistem što je nemoguć za rješiti.Trebalo bi se i to nekako dokazati. Sigurno postoji način.Siniša kod tebe postoji to jedno rješenje dok izgleda kod mene ne postoji ni jedno.Čak taj tvoj način je nešto i duži od ovoga moga. Mada mora se i to nekako dokazati.Sada da sam to radio na takmičenju ne bih mogao tek tako zaključiti sistem ima jedno rješenje i više nema. Sve se uvijek mora obrazložiti i sve se to boduje.

Broj koji kvadriramo je [inlmath]a[/inlmath] njegov kvadrat završava se sa [inlmath]9[/inlmath]. To je moguće ako je on oblika [inlmath]a=k+3[/inlmath] ili [inlmath]a=k+7[/inlmath] uzimajući u obzir da [inlmath]k[/inlmath] mora biti paran broj(ne važi za sve parne brojeve).
[dispmath]4\cdot10^n+9=a^2[/dispmath][dispmath]4\cdot10^n=a^2-9[/dispmath][dispmath]4\cdot10^n=(a+3)(a-3)[/dispmath]
za [inlmath]a=k+3[/inlmath] sistem nema rješenja
[dispmath]4\cdot10^n=(k+3+3)(k+3-3)[/dispmath][dispmath]4\cdot10^n=k^2+6k[/dispmath]
isto tako i za [inlmath]a=k+7[/inlmath] dobije se da sistem nema rješenja
[dispmath]4\cdot10^n=(k+7+3)(k+7-3)[/dispmath][dispmath]4\cdot10^n=(k+10)(k+4)[/dispmath][dispmath]4\cdot10^n=k^2+14k+40[/dispmath]
Ja sam ovo ovako radio. I ne znam baš koliko je ovo pravilan način rješavanja. Jednostavno nisam siguran.

ja uopste ne shvatam to sto si ti napisao, ti si provjerio samo za te dvie vrijednosti [inlmath]k[/inlmath] a ostale si jednostavno eliminisao, sumnjam da postoji takmicenje na kojem bi se za tako uradjen zadatak dobilo dosta bodova, jedino da uz njega predas i knjigu sa objasnjenjima

ja ne znam na koja ti takmicenja ides pa da se na taj nacin rade zadaci, a i napisao sam da se jednacine u sistemu neravnomjerno povecavaju kada izdvojis [inlmath]k[/inlmath] iz obije jednacine vidjeces da porastom [inlmath]n[/inlmath] [inlmath]k[/inlmath] iz prve jednacine mnogo brze raste od ovog iz druge i da oni vise nikad nece biti jednaki...(znaci, to je dokazano ali samo ti nisi shvatio, pa je vjerovatno to za tebe ,,tek tako,,)

a i reci da se broj izraza [inlmath]a=k+3[/inlmath] zavrsava cifrom [inlmath]3[/inlmath] pa i njegov kvadrat sa [inlmath]9[/inlmath] bez da das uslov da je [inlmath]k[/inlmath] djeljivo sa [inlmath]10[/inlmath] je smjesno, a za nekoga ko ide na takmicenja nije primjereno da takve greske pravi

uslov ti se svodi na ,,za neke,, sto nije precizno a niti matematickim

dobio si da se [dispmath]4\cdot10^n[/dispmath] moze napisati u dva oblika, i kada izjednacis to i pokusas rijesiti kao kvadratnu jednacinu dobijes da je [inlmath]k=-5[/inlmath] , a to znaci da dobijes rijesenje tako postavljenog zadatka, a ako ga dobijes a ono nije tacno znaci da nije postupak tacan ili u ovom slucaju sama pretpostvka na kojoj ti se temelji zadatak da se broj [inlmath]a=k+3[/inlmath] zavrsava cifrom [inlmath]3[/inlmath] pa i njegov kvadrat sa [inlmath]9[/inlmath]
[dispmath]k=2^n+1[/dispmath][dispmath]k=5^n-2[/dispmath]
kada se [inlmath]n[/inlmath] poveca prvo [inlmath]k[/inlmath] ce porasti za [inlmath]2[/inlmath] drugo sa [inlmath]20[/inlmath] kada se jos poveca prvo ce porasti za [inlmath]6[/inlmath] a drugo za [inlmath]120[/inlmath]...

izvino sto ovo na ovaj nacin pisem (znam da nije ispravno), ali po meni je ,,glupo,, da kazes nekome da nesta nije dokazano ili obrazlozeno prije nego sto to dobro procitas

i sve ono sto ti nazivas ,,sistemom,, su ustvari jednacine sa dvije nepoznate ,, [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] ,,

a kada bi rijesio pravi sistem sa dobio bi da je [inlmath]k=-5[/inlmath] za svako [inlmath]n[/inlmath] sto je u potpunosti nemoguce! treba li ti i to dokazati?

Auuuu ovo je bilo veoma nisko 3 metra ispod zemlje .Stvarno strašno ali baš veoma sam zaprepašćen...
Ja nisam reko da mi taj tvoj postupak nije jasan.To što ti misliš da je to za mene svemirski brod.To je i očigledno,nema tu šta.Ali ponovo ti dobiješ jedan par rješenja [inlmath]n=1[/inlmath] i [inlmath]k=3[/inlmath] dobije se da je [inlmath]49=7^2[/inlmath] i ako bi u zadatku trebalo da važi [inlmath]n>4[/inlmath] ali to nigdje nije ni napisano.Bilo je par zadataka s takmičenja sličnih ovome rađenih na isti fazon.Kada se kontradikcija radi tu nema nikakvih izuzetaka kao kod tebe ako se predpostavi suprotno mora se dokazati da nije tako.
Kasno sam sinoć piso taj zadatk u svesci mi je napisano da se [inlmath]k[/inlmath] mora završavati nulom ali ne znam ni ja što napiso sam da mora biti parno. Jeste da je to tačno ali naravno je nepotpuno.

Sinisa je napisao:i sve ono sto ti nazivas ,,sistemom,, su ustvari jednacine sa dvije nepoznate ,, [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] ,,

Brate sistem od dvije jednačine s dvije nepoznate. Da li si ikada čuo za to?
Možeš li još pronaći koju grešku u zadatku ? Ja dobijem da sistem nema rješenja nikako.

opet ne citas ili ne razumijes ali imas potrebu da nekome kazes da mu zadatak nije tacan

[inlmath]n[/inlmath] ne mora biti vece od [inlmath]4[/inlmath] zato sto zadatak glasi: ,,Dokazati da broj [inlmath]4000\ldots09[/inlmath] nije potpun kvadrat (pri proizvoljnom broju nula pocevsi sa jednom)...

Gamma je napisao:za [inlmath]a=k+3[/inlmath] sistem nema rješenja
[dispmath]4\cdot10^n=(k+3+3)(k+3-3)[/dispmath][dispmath]4\cdot10^n=k^2+6k[/dispmath]
isto tako i za [inlmath]a=k+7[/inlmath] dobije se da sistem nema rješenja
[dispmath]4\cdot10^n=(k+7+3)(k+7-3)[/dispmath][dispmath]4\cdot10^n=(k+10)(k+4)[/dispmath][dispmath]4\cdot10^n=k^2+14k+40[/dispmath]

- ovo su dvije jednacine a ne dva sistema... a te dvije jednacine cine jedan sistem i kada se taj sistem rijesi dobije se da je [inlmath]k=5[/inlmath] ... to znaci da tvoj zadatak ima rjesenje ali je ono netacno.(pocetak zadatka je los, to sam napisao i u prethodnom postu)

,,Kada se kontradikcija radi tu nema nikakvih izuzetaka kao kod tebe ako se predpostavi suprotno mora se dokazati da nije tako.,, - nadji gdje sam ja napisao da postoje neki izuzeci...(molim te da mi napises te izuzetke zato sto si vjerovatno nesta pogresno shvatio, jer ih nema)

ja nigdje nisam nista pretpostavljao vec sam sve objasnio na matematicki nacin bez ikakvih izuzetaka, nije mi jasna tvoja potreba da nadjes gresku u ovom rjesenju...

Moglo je za nijansu jednostavnije:
Broj [inlmath]400\ldots09[/inlmath] napišemo kao [inlmath]4\cdot10^k+9=m^2[/inlmath] pa je:
[dispmath]4\cdot10^k=(m-3)(m+3)[/dispmath] [inlmath]k\in\mathbb{N}[/inlmath]
Sada posmatramo levu stranu jednačine, odnosno čime je ona deljiva. Iskoristićemo jednu osobinu deljivosti, za koju mi se čini da je ispravna ([inlmath](a,b)[/inlmath] - najveći zajednički delilac):
[dispmath]a-b=6\;\Longrightarrow\;(a,b)\vert6[/dispmath] Dakle, [inlmath](m+3)-(m-3)=6\;\Longrightarrow\;(m+3,\;m-3)\vert6[/inlmath]. Kako [inlmath]4\cdot10^k[/inlmath] nije deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], a obe strane jednakosti su parni brojevi sledi [inlmath](m+3,\;m-3)=2[/inlmath]. Kada desnu stranu rastavimo na faktore dobićemo:
[dispmath]2^2\cdot2^k\cdot5^k=2^{k+2}\cdot5^k=(m-3)(m+3)[/dispmath] Kako je [inlmath](m+3,\;m-3)=2[/inlmath] postoje dve mogućnosti:
Prvo:
[dispmath]m+3=2\cdot5^k[/dispmath] i
[dispmath]m-3=2^{k+1}[/dispmath] Onda je [inlmath](m+3)-(m-3)=6=2\left(5^k-2^k\right)\;\Longrightarrow\;5^k-2^k=3[/inlmath] što važi samo za [inlmath]k=1[/inlmath] (zato što je [inlmath]5^k-2^k>3[/inlmath] za sve druge vrednosti [inlmath]k[/inlmath]) u tom slučaju je [inlmath]4\cdot10^k+9=49[/inlmath], a to ne ispunjava uslove zadatka.
Drugo:
[dispmath]m+3=2^{k+1}\cdot5^k[/dispmath] i
[dispmath]m-3=2[/dispmath] Tada je [inlmath]m=5[/inlmath] što opet ne zadovoljava uslove zadatka.

P.S. Baš me interesuje zvanično rešenje sa tog takmičenja, namučih se dok sam rešio, pa ako neko zna bar sa kog je takmičenja, zamolio bih ga da postuje ovde.