MATEMANIJA

Neki dvocifreni broj postane za [inlmath]18[/inlmath] manji kad mu cifre zamene mesta. Ako se trazeni broj podeli zbirom svojih cifara, dobije se kolicnik [inlmath]6[/inlmath] i ostatak [inlmath]5[/inlmath]. Koji je to broj?

Prvo treba pravilno postaviti jednačine. Cifre broja ćemo obeležiti sa [inlmath]x[/inlmath] (leva cifra) i [inlmath]y[/inlmath] (desna cifra).

Iz uslova da broj postane za [inlmath]18[/inlmath] manji kad mu cifre zamene mesta, dobijamo prvu jednačinu:
[dispmath]10x+y-18=x+10y[/dispmath]
pa je onda malo sredimo:
[dispmath]9x-9y=18[/dispmath]
Podelimo obe strane sa [inlmath]9[/inlmath]:
[dispmath]x-y=2[/dispmath]
Drugu jednačinu dobijamo iz uslova da, ako se traženi broj podeli zbirom svojih cifara, dobije se količnik [inlmath]6[/inlmath] i ostatak [inlmath]5[/inlmath]:
[dispmath]\frac{10x+y-5}{x+y}=6[/dispmath]
Pa i to malo sredimo:
[dispmath]10x+y-5=6\left(x+y\right)\\
10x+y-5=6x+6y\\
4x-5y=5[/dispmath]
Znači, sad imamo sistem od dve jednačine s dve nepoznate:
[dispmath]x-y=2\\
4x-5y=5[/dispmath]
Iz prve jednačine možemo [inlmath]y[/inlmath] napisati kao [inlmath]y=x-2[/inlmath], pa ga uvrstiti u drugu jednačinu:
[dispmath]4x-5\left(x-2\right)=5\\
4x-5x+10=5\\
-x=-5\\
x=5[/dispmath]
Odatle nađemo i [inlmath]y[/inlmath]:
[dispmath]y=x-2\\
y=3[/dispmath]
Prema tome, broj koji tražimo je [inlmath]53[/inlmath].

Hvala!