MATEMANIJA

ovi su me skroz zeznuli ni jedan nisam uspeo da resim ,primer:
Dokazati da je [inlmath]n^3-n+6[/inlmath] deljiv sa [inlmath]6[/inlmath] za svako [inlmath]n[/inlmath],
Dokazati da je [inlmath]6^{2n}+10\cdot 3^n-11[/inlmath] deljiz sa [inlmath]11[/inlmath] za svkao [inlmath]n[/inlmath]

U prvom dobijem za [inlmath]T(1)[/inlmath] da je tacno a u [inlmath]T(n+1)[/inlmath] ide [inlmath]3n^2+3n+n^3-n+6[/inlmath] onda ovo [inlmath]n^3-n+6[/inlmath] odbacim jer je to pocetno tvrdjenje i stane mi [inlmath]3n^2+3n[/inlmath] i ne znam kako tu da dokazem,ako opet krenem sa indukcijom samo se povacava a forma ostaje isto nedokazana

u drugom mi bude [inlmath]36\cdot 6^{2n}+30\cdot 3^n-11[/inlmath] sto uspem da skratim da mi ostane samo [inlmath]5\cdot 3^n[/inlmath] i dalje neznam sta?

sta mi promice,radio sam kako su oni u zbirci ali tamo sve ima logike ovde ne....

Odd one out je napisao:U prvom dobijem za [inlmath]T(1)[/inlmath] da je tacno a u [inlmath]T(n+1)[/inlmath] ide [inlmath]3n^2+3n+n^3-n+6[/inlmath] onda ovo [inlmath]n^3-n+6[/inlmath] odbacim jer je to pocetno tvrdjenje i stane mi [inlmath]3n^2+3n[/inlmath] i ne znam kako tu da dokazem,ako opet krenem sa indukcijom samo se povacava a forma ostaje isto nedokazana

Sada [inlmath]3n^2+3n[/inlmath] napišeš kao [inlmath]3n\left(n+1\right)[/inlmath] i zaključuješ: pošto su [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]n+1[/inlmath] uzastopni prirodni brojevi, jedan od ta dva broja je sigurno paran, tako da će i njihov proizvod, [inlmath]n\left(n+1\right)[/inlmath], biti paran, tj. može se napisati kao [inlmath]2k[/inlmath], gde [inlmath]k\in\mathbb{N}[/inlmath]. Odatle sledi da se [inlmath]3n\left(n+1\right)[/inlmath] može zapisati kao [inlmath]3\cdot 2k[/inlmath], tj. kao [inlmath]6k[/inlmath], što znači da je deljiv sa [inlmath]6[/inlmath].

Odd one out je napisao:u drugom mi bude [inlmath]36\cdot 6^{2n}+30\cdot 3^n-11[/inlmath] sto uspem da skratim da mi ostane samo [inlmath]5\cdot 3^n[/inlmath] i dalje neznam sta?

Ne znam kako si došao do toga da ti ostane [inlmath]5\cdot 3^n[/inlmath], ali to očigledno nije tačno, jer bi za [inlmath]n=1[/inlmath] bilo [inlmath]5\cdot 3^1=15[/inlmath], a to nije deljivo sa [inlmath]11[/inlmath].
Umesto toga, [inlmath]36\cdot 6^{2n}+30\cdot 3^n-11[/inlmath] treba da napišeš na sledeći način:
[dispmath]36\cdot 6^{2n}+30\cdot 3^n-11=\left(33+3\right)\cdot 6^{2n}+\left(33-3\right)\cdot 3^n-11=33\cdot 6^{2n}+33\cdot 3^n+3\cdot 6^{2n}-3\cdot 3^n-11=[/dispmath][dispmath]=11\left(3\cdot 6^{2n}+3\cdot 3^n-1\right)+3\left(6^{2n}-3^n\right)=11\left(3\cdot 6^{2n}+3\cdot 3^n-1\right)+3\left[\left(6^2\right)^n-3^n\right]=[/dispmath][dispmath]=11\left(3\cdot 6^{2n}+3\cdot 3^n-1\right)+3\left(36^n-3^n\right)=11\left(3\cdot 6^{2n}+3\cdot 3^n-1\right)+3\cdot 3^n\left(12^n-1\right)[/dispmath]
Prvi sabirak, [inlmath]11\left(3\cdot 6^{2n}+3\cdot 3^n-1\right)[/inlmath] očigledno je deljiv sa [inlmath]11[/inlmath], a za faktor [inlmath]\left(12^n-1\right)[/inlmath] u drugom sabirku deljivost sa [inlmath]11[/inlmath] se može dokazati primenom formule [inlmath]a^n-b^n=\left(a-b\right)\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1}b^k[/inlmath], koju, između ostalih, imaš u ovoj temi, a ako ti ta formula nije odranije poznata, možeš lako dokazati i indukcijom:
[dispmath]\begin{array}{lll}
n=1: & \Rightarrow & 12^n-1=11\\
n=k: & \Rightarrow & 12^k-1\mbox{ deljivo sa }11\\
n=k+1: & \Rightarrow & 12^{k+1}-1=12\cdot 12^k-1=\left(11+1\right)\cdot 12^k-1=11\cdot 12^k+\left(12^k-1\right)
\end{array}[/dispmath]
Pošto je [inlmath]11\cdot 12^k[/inlmath] deljivo sa [inlmath]11[/inlmath], a i [inlmath]12^k-1[/inlmath] je deljivo sa [inlmath]11[/inlmath] prema indukcijskoj pretpostavci, sledi da je [inlmath]12^{k+1}-1[/inlmath] deljivo sa [inlmath]11[/inlmath].