MATEMANIJA

U skupu [inlmath]\mathbb{Q}[/inlmath] rešiti jednačinu [inlmath]x^2-2,(3)=1,(6)[/inlmath] [deo 2. zadatka sa školskog takmičenja učenika OŠ 02.02.2013]

Odakle lako rešavamo jednačinu [inlmath]x^2=1,(6)+2,(3)[/inlmath]
Odnosno [inlmath]x^2=1,6666\ldots+2,3333\ldots[/inlmath]
pa je [inlmath]x^2=3,9999\ldots[/inlmath]

Korišćenjem
[dispmath]2,(3)=\frac{23-2}{9}=\frac{\cancel{21}}{\cancel9}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}[/dispmath][dispmath]1,(6)=\frac{16-1}{9}=\frac{\cancel{15}}{\cancel9}=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}[/dispmath]
dobijamo [inlmath]x^2=2\frac{1}{3}+1\frac{2}{3}[/inlmath] tj., [inlmath]x^2=4[/inlmath] čija su rešenja [inlmath]x=-2,\;x=+2[/inlmath]

Pitanje u svemu ovome je *da li je broj [inlmath]3,9999\ldots[/inlmath] jednak broju [inlmath]4[/inlmath]. Ako je jednak zašto se piše [inlmath]3,9999\ldots[/inlmath] a ne [inlmath]4[/inlmath]?* Da li je broj [inlmath]3,9999\ldots[/inlmath] ustvari "prva tačka levo od [inlmath]4[/inlmath]" ???

O ovom vrlo zanimljivom pitanju već je bilo reči, u ovoj temi.

Sveta je napisao:Pitanje u svemu ovome je da li je broj [inlmath]3,9999…[/inlmath]jednak broju[inlmath]4[/inlmath]. Ako je jednak zašto se piše [inlmath]3,9999…[/inlmath] a ne [inlmath]4?[/inlmath] Da li je broj [inlmath]3,9999…[/inlmath] ustvari "prva tačka levo od[inlmath]4[/inlmath]???

Prvi deo pitanja je pomalo "filozofsko-matematički" Ima oko toga u temi koju je Daniel linkovao.
E, a na drugi deo pitanja ("da li je [inlmath]3,999...[/inlmath] prva tačka levo..." se može odgovoriti:

Dedekindov aksiom neprekidnosti:
Ukoliko se realna osa podeli na dva dela u tački [inlmath]x=a[/inlmath] tada ili postoji najveći broj u "levom" skupu brojeva i ne postoji najmanji u "desnom" skupu, ili postoji najmanji broj u "desnom" i ne postoji najveći u "levom" skupu.

Eto, kada bi "levi"skup imao maksimalan element i "desni" skup minimalan (a skupovi su disjunktni) onda bi skup realnih brojeva imao prekid. Dakle, nema prve tačke levo od broja [inlmath]4[/inlmath], to jest ne možemo reći koji je to broj.
Na ovom aksiomu počiva ne samo gomila stvari u klasičnoj matematici, već i u teoriji verovatnoće. Na primer, verovatnoća da se u eksperimentu izbora tačke sa duži dužine npr. [inlmath]2[/inlmath] izabere baš sredina duži ("srednja" tačka) jednaka je nuli. Ne da teži nuli, nego je baš jednaka nuli. A sam taj događaj je moguć. Dakle, moguć događaj sa verovatnoćom jednakom nuli. Ovo su matematičari svojevremeno objašnjavali pomoću statističke definicije verovatnoće.