MATEMANIJA

Dokazati da je[dispmath]5^\frac{1}{2}\left(\left(2-5^\frac{1}{2}\right)^8-\left(2+5^\frac{1}{2}\right)^8\right)[/dispmath] ceo broj.

Ja sam ovo u zagradi pretvorio u razliku kvadrat pa kvadrirao 2 puta i dobio sam da mi je u zagraci ceo broj a vani je jos uvek ostao [inlmath]5^\frac{1}{2}[/inlmath].

[dispmath]\sqrt{5}\cdot\left(\left(2-\sqrt 5\right)^8-\left(2+\sqrt 5\right)^8\right)[/dispmath][dispmath]\sqrt{5}\left(\left(2-\sqrt 5\right)^4-\left(2+\sqrt 5\right)^4\right)\left(\left(2-\sqrt 5\right)^4+\left(2+\sqrt 5\right)^4\right)[/dispmath]
Vrednosti [inlmath]\left(2-\sqrt 5\right)^4=\left(\left(2-\sqrt 5\right)^2\right)^2=161-72\sqrt{5}[/inlmath] i [inlmath]\left(2+\sqrt 5\right)^4=\left(\left(2+\sqrt 5\right)^2\right)^2=161+72\sqrt{5}[/inlmath] se lako izračunavaju.

Uvrsti dalje te vrednosti i dobićeš da je ceo polazni izraz jednak [inlmath]-231840[/inlmath], što je ceo broj.

Odd one out je napisao:dobio sam da mi je u zagraci ceo broj a vani je jos uvek ostao [inlmath]5^\frac{1}{2}[/inlmath].

To ti je odmah bio signal da si negde omašio u računu, jer proizvod celog broja (koji nije nula) i iracionalnog broja može biti samo iracionalan, nikako ceo broj.

Drugi način... Smena [inlmath]a=2+\sqrt{5}[/inlmath] i [inlmath]b=2-\sqrt{5}[/inlmath]

Tada je [inlmath]a-b=2\sqrt{5}[/inlmath], odnosno [inlmath]\sqrt{5}=\frac{a-b}{2}[/inlmath].

Otuda polazni izraz postaje:
[dispmath]\frac{a-b}{2}\left(b^8-a^8\right)=\frac{a-b}{2}\left(b^4-a^4\right)\left(b^4+a^4\right)=\frac{a-b}{2}(b-a)(b+a)\left(b^2+a^2\right)\left(b^4+a^4\right)[/dispmath][dispmath]=-\frac{1}{2}(a-b)^2(b+a)\left((b+a)^2-2ab\right)\left(\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2\right)[/dispmath][dispmath]-\frac{a+b}{2}(a-b)^2\left((a+b)^2-2ab\right)\left(\left((a+b)^2-2ab\right)^2-2(ab)^2\right)[/dispmath]
S obzirom na to da je [inlmath]a+b=4[/inlmath], [inlmath]\frac{a+b}{2}=2[/inlmath], [inlmath]ab=-1[/inlmath] i [inlmath](a-b)^2=20[/inlmath] – sabiranjem, oduzimanjem i množenjem koje imamo u ovom obrascu svakako dobijamo ceo broj. Naravno, možemo to proveriti i uvrštavanjem vrednosti.