MATEMANIJA

[inlmath]9.[/inlmath] zadatak nije zaokruzen uopste zato sto ne znam da ga uradim a kod [inlmath]20.[/inlmath] stoji precrtano, ali je zaokruzeno tacno resenje i u svim ostalim zadacima su zaokruzena tacna resenja
Sto se kvaliteta tice nije neki, ako bude bilo potrebe kacicu opet

U poslednjem zadatku se nalazi logaritam cija je osnova[dispmath]2^{(x+1)^2}-1[/dispmath]
ako slucajno neko ne vidi

_Mita je napisao:[inlmath]9.[/inlmath] zadatak nije zaokruzen uopste zato sto ne znam da ga uradim

Rešenje dato ovde.

Naletio sam na ovaj 20-ti zadatak i ja sam dobio da on nema rješenje. Ovde me zbunjuje ovaj zapis za rješenje. Uopšte ne znam šta ovo znači za neke realne brojeve [inlmath]a,b,c[/inlmath] Ako neko može to da pojasni.
I još interesuje me za 17-ti zadatak kako se radi ? Sigurno ide nekako preko izvoda ali ja nemam ideju. Bilo bi lako je da u pitanju linearna funkcija.

Ajd da prepišem ta dva zadatka, da ljudi ne ćorave.

[inlmath]17.[/inlmath] Najmanja vrednost rastojanja tačke [inlmath]M\left(0,1\right)[/inlmath] od tačaka [inlmath]\left(x,y\right)[/inlmath] takvih da je [inlmath]\displaystyle y=1+\frac{1}{4\sqrt3x^{3/2}}[/inlmath], za [inlmath]x>0[/inlmath], iznosi:
[inlmath]\left(A\right)\;2\sqrt{\frac{2}{3}}\quad[/inlmath] [inlmath]\left(B\right)\;\frac{\sqrt3}{3}\quad[/inlmath] [inlmath]\left(C\right)\;\frac{\sqrt2}{2}\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{\left(D\right)\;\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{3}}}\quad[/inlmath] [inlmath]\left(E\right)\;\frac{1}{3}\quad[/inlmath] [inlmath]\left(N\right)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

[inlmath]20.[/inlmath] Skup svih realnih rešenja nejednačine [inlmath]\displaystyle\frac{\log_{2^{\left(x+1\right)^2}-1}\Bigl(\log_{2x^2+2x+3}\left(x^2-2x\right)\Bigr)}{\log_{2^{\left(x+1\right)^2}-1}\left(x^2+6x+10\right)}\ge0[/inlmath] je oblika (za neke realne brojeve [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath], takve da je [inlmath]-\infty<a<b<c<+\infty[/inlmath]):
[inlmath]\left(A\right)\;\left[a,b\right]\quad[/inlmath] [inlmath]\left(B\right)\;\left(a,b\right]\cup\left(c,+\infty\right)\quad[/inlmath] [inlmath]\left(C\right)\;\left[a,b\right)\quad[/inlmath] [inlmath]\left(D\right)\;\left(-\infty,a\right)\cup\left(b,c\right)\quad[/inlmath] [inlmath]\left(E\right)\;\enclose{circle}{\left(a,b\right)\cup\left(b,c\right)}\quad[/inlmath] [inlmath]\left(N\right)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

Gamma je napisao:Naletio sam na ovaj 20-ti zadatak i ja sam dobio da on nema rješenje. Ovde me zbunjuje ovaj zapis za rješenje. Uopšte ne znam šta ovo znači za neke realne brojeve [inlmath]a,b,c[/inlmath] Ako neko može to da pojasni.

Zapis [inlmath]\left(a,b\right)\cup\left(b,c\right)[/inlmath] znači isto što i [inlmath]\left(a,c\right)\setminus\left\{b\right\}[/inlmath]. Dakle, otvoreni interval [inlmath]\left(a,c\right)[/inlmath] bez elementa [inlmath]b[/inlmath].

Gamma je napisao:I još interesuje me za 17-ti zadatak kako se radi ? Sigurno ide nekako preko izvoda ali ja nemam ideju. Bilo bi lako je da u pitanju linearna funkcija.

Da, ide preko izvoda. Napišeš formulu za [inlmath]d[/inlmath], gde je [inlmath]d[/inlmath] rastojanje od tačke [inlmath]M\left(0,1\right)[/inlmath] do neke tačke [inlmath]A\left(x,y\right)[/inlmath] na datoj krivoj. Dobićeš izraz za [inlmath]d[/inlmath] u zavisnosti od [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]. Nakon uvrštavanja datog izraza za [inlmath]y[/inlmath], dobićeš izraz za [inlmath]d[/inlmath] u funkciji samo promenljive [inlmath]x[/inlmath]. Minimalno [inlmath]d[/inlmath] odrediš tako što nađeš izvod razdaljine [inlmath]d[/inlmath] po promenljivoj [inlmath]x[/inlmath] i izjednačiš ga s nulom.

17-ti zadatak mi je jasan.To sada nije problem.
Ali 20-ti opet mi nije jasan. Nisi me baš dobro razumio mada nisam se ja ni precizno izjasnio.Uopšte ne znam kakve ova nejednačina ima veze sa realnim brojevina [inlmath]a,b,c[/inlmath]. Kada ne postoje realna rješenja za tu nejednačinu.Kako se došlo do toga rješenja [inlmath](a,b)\cup(b,c)[/inlmath]? Zašto [inlmath]b[/inlmath] ne može biti u tome skupu?Znači zbunjuje me način određivanja tog intervala. Kako se on određje?Možda čak nije ni potrebno rješavati nejednačinu.

Kada rešiš tu jednačinu (da, jednačina se svakako mora rešiti i realna rešenja postoje) dobićeš [inlmath]x\in\left(-3,-2\right)\cup\left(-2,-1\right)[/inlmath]. To znači da skup rešenja nije ni oblika [inlmath]\left[a,b\right][/inlmath], ni oblika [inlmath]\left(a,b\right]\cup\left(c,+\infty\right)[/inlmath]... već je oblika [inlmath]x\in\left(a,b\right)\cup\left(b,c\right)[/inlmath].

Malo teži zadatak meni je ispalo oko desetak listova.Ipak otima mi se ovaj zadatak.Sigurno sam negdje oko domena pogrješio.Način rješavanja zadatka mi je jasnan. E ako možeš samo da mi kažeš šematski kako bi radio ovaj zadatak. Mislim na ono šta prvo itd. Ja sam prvo za domen odredio numerus i bazu i mislim da sam tu kod baze pogriješio. Jer sam postavio uslov za sve da baze moraju biti veće od nule i različite od jedan pa tek onda za drugi slučaj poduslovuslov u tom uslovu da moraju biti veće od nule i manje od jedan.A ovo ostalo mi je jasno nema šta.Jeste da ima tih dosta uslova pa se veooma lako može pogrješiti.

Ponovo sam uradio zadatak prvo sam određivo uslove za numerus pa tek onda posebno za baze kada su veće od [inlmath]1[/inlmath] i kada su između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. Mada nije se puno toga promjenilo.Za prvi uslov (da su baze veće od [inlmath]1[/inlmath]) dobijem rješenje [inlmath]x\in(-3,-2)[/inlmath] i mislim da je to ok.Ali ovo za ovaj drugi interval mi nije jasno nikako [inlmath]x\in(-2,-1)[/inlmath] Meni ispada da ne zadovoljava uslove za baze.Evo npr. uzecemo [inlmath]x=-\frac{3}{2}[/inlmath].Ja koliko znam logaritamska funkcija se ne može definisati za negativne baze. Uzmemo ovu bazu [inlmath]2(x+1)^2-1[/inlmath]
[dispmath]2(x+1)^2-1=2\left(1-\frac{3}{2}\right)^2-1=2\left(-\frac{1}{2}\right)^2-1=\frac{2}{4}-1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}[/dispmath]

Pogledaj bolje, baza nije [inlmath]2\left(x+1\right)^2-1[/inlmath], već [inlmath]2^{\left(x+1\right)^2}-1[/inlmath].

Kako se rješavaju 14. i 15. zadatak?

U 14. sam probala sa varijacijama, pošto u skupu ima [inlmath]20[/inlmath] parnih i [inlmath]20[/inlmath] neparnih brojeva. I onda imamo 2 mogućnosti: 2 parna [inlmath]+[/inlmath] 1 neparan broj [inlmath]=[/inlmath] neparan broj; ili 3 neparna broja [inlmath]=[/inlmath] neparan broj. Međutim, ne dobijem tačno rješenje, već broj iznad [inlmath]7000[/inlmath].

U 15. ne razumijem kako dobiti površinu osnove (trougao) kada imamo samo jednu stranicu i jedan ugao. Ne mogu ništa sa trigonometrijom, sinusnom niti kosinusnom teoremom... Nemam više ideja...

Prepišimo te zadatke...

[inlmath]14.[/inlmath] Na koliko načina se mogu izabrati tri broja iz skupa prirodnih brojeva [inlmath]\left\{1,2,3,\ldots,40\right\}[/inlmath] tako da im zbir bude neparan broj?
[inlmath]\left(A\right)\;1140\quad[/inlmath] [inlmath]\left(B\right)\;6480\quad[/inlmath] [inlmath]\left(C\right)\;14080\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{\left(D\right)\;4940}\quad[/inlmath] [inlmath]\left(E\right)\;3800\quad[/inlmath] [inlmath]\left(N\right)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

[inlmath]15.[/inlmath] U valjak prečnika osnove [inlmath]14\sqrt3\mbox{ cm}[/inlmath] i visine [inlmath]20\mbox{ cm}[/inlmath] upisana je prava trostrana prizma čija osnova je trougao [inlmath]ABC[/inlmath] čija je stranica [inlmath]BC=9\mbox{ cm}[/inlmath], a ugao naspram stranice [inlmath]AC[/inlmath] je [inlmath]120^\circ[/inlmath]. Zapremina prizme (u [inlmath]\mbox{ cm}^3[/inlmath]) je:
[inlmath]\left(A\right)\;1890\sqrt3\quad[/inlmath] [inlmath]\left(B\right)\;810\sqrt3\quad[/inlmath] [inlmath]\left(C\right)\;3780\sqrt3\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{\left(D\right)\;675\sqrt3}\quad[/inlmath] [inlmath]\left(E\right)\;825\sqrt3\quad[/inlmath] [inlmath]\left(N\right)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]

---

U [inlmath]14.[/inlmath] zadatku ti je rezon dobar (dva parna plus jedan neparan, ili sva tri neparna) ali to ne radiš preko varijacija, već preko kombinacija, jer nije bitan redosled brojeva. Npr. [inlmath]12+19+34[/inlmath] i [inlmath]34+12+19[/inlmath] tretiraju se kao jedan isti slučaj.

U [inlmath]15.[/inlmath] zadatku primeniš sinusnu teoremu, koja kaže [inlmath]\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=2R[/inlmath], gde je [inlmath]R[/inlmath] poluprečnik kružnice opisane oko posmatranog trougla. Ovde ti je [inlmath]2R[/inlmath] dato, to je prečnik osnove valjka.

Uradio sam ovaj 20-i zadatak. Rješenje je tačno. Najbolje bi bilo da ga neko pregleda i ukaže na propuste,mislim ono šta je dobro ,šta nije, kako bi on to radio itd... Imam 5 stranica puno ima toga ako bi se to prekucavalo u latex.A i attachemt ne može prikačiti veće fajlove. Pa sam stavio na hosting server.
List1
List2
List3
List4
List5

rezultat ti nije dobar...
[dispmath]x^2-2x>2x^2+2x+3[/dispmath]
zato sto numerus logaritma u broiocu mora biti veci od [inlmath]0[/inlmath] a to ces postici samo uz ovaj prethodni uslov(vrijednost logaritma je pozitivna ako je njegov numerus veci od baze)... mnogo si zakomplikovao trazi ti se samo oblik rjesenja a ne ono citavo, glupo je da gubis vrijeme pisuci 5 stranica na prijemnom kada to nije potrebno

mislim da ne bi mogao ovako uraditi zadatak na takmicenju bez ovog uslova, u ovom slucaju se oblik rjesenja nece mijenjati ali mozda bi i doslo do neke promjene da su brojevi drugaciji

mada je stojim pri tome da si odmah mogao zakljuciti da je nemoguce da bude oblika gdje ima beskonacnost ali i skupa gdje nema prekida tako da si odmah mogao doci do ovog oblika bez potrosenih 5 stranica

Sinisa je napisao:rezultat ti nije dobar...

Kakav sad rezultat nije dobar ? Konačan ili od ove nejednačine što si je napiso. Rješenje te nejednačine je [inlmath]x\in(-3,-1)[/inlmath] kao i kod mene. Treba biti [inlmath]\ge[/inlmath] a ne [inlmath]>[/inlmath] tako da umjesto oblih trebaju uglate zagrade.To sa 5 listova znam da je malo pretjerano zakompikovano pokušavo sam ja ovo skraćivati na neke fazone ali dobio sam uvijek pogrešan rezultat.Pa eto uzmi ti riješi kako ti misliš da je dobro pa postavi da vidimo.Upravo to kako doci do toga oblika rješenja a ne čitavog rješenja. Meni je samo ono rješenje tada palo na pamet kada sam ga radio.

Sinisa je napisao:(vrijednost logaritma je pozitivna ako je njegov numerus veci od baze)

Mislim da si se malo zbunio, vrednost logaritma je veća od jedinice ako je njegov numerus veći od baze, a vrednost logaritma je pozitivna ako je njegov numerus veći od [inlmath]1[/inlmath]. Sve to, pod uslovom da je baza veća od jedinice. Ako je baza manja od jedinice, onda sve obratno. Dakle,
[dispmath]\log_ba>1\quad\Rightarrow\quad\begin{cases}
a>b, & \mbox{za }b>1\\
a<b, & \mbox{za }0<b<1\\
\end{cases}[/dispmath][dispmath]\log_ba>0\quad\Rightarrow\quad\begin{cases}
a>1, & \mbox{za }b>1\\
a<1, & \mbox{za }0<b<1\\
\end{cases}[/dispmath]
Ali, slažem se s tobom da je Gamma nepotrebno zakomplikovao.

@Gamma
Što se tiče određivanja definisanosti, pogrešan ti je uslov [inlmath]h\left(x\right)>1\;\Rightarrow\;\forall x\in\mathbb{R}[/inlmath]. Treba da se dobije [inlmath]x\in\mathbb{R}\setminus\left\{-3\right\}[/inlmath]. Mada si posle, na drugom listu, to ispravio...
Nije uopšte potrebno ispitivati [inlmath]m\left(x\right)>1[/inlmath] i [inlmath]0<m\left(x\right)<1[/inlmath], a ni određivati grafik te funkcije, ako se radi na način koji ću kasnije pokazati.
Posle kad sam video da si razmatrao slučajeve kad su brojilac i imenilac pozitivni i kad su brojilac i imenilac negativni, i to u zavisnosti od vrednosti baze, iskreno, nisam dalje ni gledao. Umesto toga, pošto imamo istu bazu logaritma u brojiocu i u imeniocu, bilo je dovoljno primeniti identitet [inlmath]\frac{\log_ca}{\log_cb}=\log_ba[/inlmath]...
Uostalom, evo celog postupka – od početka do kraja. Najveći posao je, dakle, odrediti oblast definisanosti jer ima mnogo uslova, a ovo ostalo se časkom uradi...

---

[dispmath]\frac{\log_{2^{\left(x+1\right)^2}-1}\Big(\log_{2x^2+2x+3}\left(x^2-2x\right)\Big)}{\log_{2^{\left(x+1\right)^2}-1}\left(x^2+6x+10\right)}\ge0[/dispmath]

[dispmath]\begin{array}{ll}
1^\circ\quad2^{\left(x+1\right)^2}-1>0 & 5^\circ\quad2x^2+2x+3\ne1\\
2^\circ\quad2^{\left(x+1\right)^2}-1\ne1 & 6^\circ\quad\log_{2x^2+2x+3}\left(x^2-2x\right)>0\\
3^\circ\quad x^2-2x>0 & 7^\circ\quad x^2+6x+10>0\\
4^\circ\quad2x^2+2x+3>0\qquad & 8^\circ\quad\log_{2^{\left(x+1\right)^2}-1}\left(x^2+6x+10\right)\ne0
\end{array}[/dispmath]

---

[dispmath]\begin{matrix}
1^\circ\\
2^{\left(x+1\right)^2}-1>0\qquad\\
2^{\left(x+1\right)^2}>1\\
\left(x+1\right)^2>0\\
\underline{x\ne-1}
\end{matrix}
\begin{matrix}
2^\circ\\
2^{\left(x+1\right)^2}-1\ne1\\
2^{\left(x+1\right)^2}\ne2\\
\left(x+1\right)^2\ne1\\
\sqrt{\left(x+1\right)^2}\ne\sqrt1\\
\left|x+1\right|\ne1\\
x+1\ne -1\;\land\;x+1\ne1\qquad\\
\underline{x\ne -2\;\land\;x\ne0}
\end{matrix}
\begin{matrix}
3^\circ\\
x^2-2x>0\\
x\left(x-2\right)>0\\
\underline{x<0\;\lor\;x>2}
\end{matrix}[/dispmath]
[dispmath]\begin{matrix}
4^\circ\\
2x^2+2x+3>0\qquad\\
D<0,\;a>0\\
\Rightarrow\;\underline{x\in\mathbb{R}}
\end{matrix}
\begin{matrix}
5^\circ\\
2x^2+2x+3\ne1\\
\left.2x^2+2x+2\ne0\quad\right/:2\qquad\\
x^2+x+1\ne0\\
D<0,\;a>0\\
\Rightarrow\;\underline{x\in\mathbb{R}}
\end{matrix}
\begin{matrix}
6^\circ\\
\log_{2x^2+2x+3}\left(x^2-2x\right)>0\\
2x^2+2x+3>1\;\Rightarrow\;x^2-2x>1\\
x^2-2x-1>0\\
x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}\\
x_{1,2}=1\pm\sqrt2\\
\underline{x<1-\sqrt2\;\lor\;x>1+\sqrt2}
\end{matrix}[/dispmath]
[dispmath]\begin{matrix}
7^\circ\\
x^2+6x+10>0\qquad\\
D<0,\;a>0\\
\Rightarrow\;\underline{x\in\mathbb{R}}
\end{matrix}
\begin{matrix}
8^\circ\\
\log_{2^{\left(x+1\right)^2}-1}\left(x^2+6x+10\right)\ne0\\
x^2+6x+10\ne1\\
x^2+6x+9\ne0\\
\left(x+3\right)^2\ne0\\
\left|x+3\right|\ne0\\
\underline{x\ne-3}
\end{matrix}[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad\enclose{box}{x\in\left(-\infty,-3\right)\cup\left(-3,-2\right)\cup\left(-2,-1\right)\cup\left(-1,1-\sqrt2\right)\cup\left(1+\sqrt2,+\infty\right)}[/dispmath]
Nakon određivanja oblasti definisanosti, rešavamo samu nejednačinu, pri čemu koristimo identitet [inlmath]\frac{\log_ca}{\log_cb}=\log_ba[/inlmath], pri čemu je:
[dispmath]a=\log_{2x^2+2x+3}\left(x^2-2x\right)\\
b=x^2+6x+10\\
c=2^{\left(x+1\right)^2}-1[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad\frac{\log_{2^{\left(x+1\right)^2}-1}\Big(\log_{2x^2+2x+3}\left(x^2-2x\right)\Big)}{\log_{2^{\left(x+1\right)^2}-1}\left(x^2+6x+10\right)}=\log_{x^2+6x+10}\bigg(\log_{2x^2+2x+3}\left(x^2-2x\right)\bigg)\ge0[/dispmath]
Pošto je pod [inlmath]8^\circ[/inlmath] već utvrđeno da je [inlmath]x^2+6x+10>1[/inlmath] za svako [inlmath]x[/inlmath] osim za [inlmath]x=-3[/inlmath], a [inlmath]x=-3[/inlmath] ne pripada oblasti definisanosti, sledi da se pri oslobađanju od logaritma ne menja smer nejednakosti, pa je
[dispmath]\log_{2x^2+2x+3}\left(x^2-2x\right)\ge1\\
\log_{2x^2+2x+3}\left(x^2-2x\right)\ge\log_{2x^2+2x+3}\left(2x^2+2x+3\right)[/dispmath]
Pošto je takođe, pod [inlmath]5^\circ[/inlmath] već utvrđeno da je [inlmath]2x^2+2x+3>1[/inlmath] za svako [inlmath]x[/inlmath], sledi da se pri oslobađanju od logaritma ne menja smer nejednakosti, pa je
[dispmath]x^2-2x\ge2x^2+2x+3\\
x^2+4x+3\le0\\
x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{4}}{2}\\
x_{1,2}=-2\pm1\\
\underline{-3\le x\le-1}[/dispmath]
što u preseku s oblašću definisanosti daje
[dispmath]\enclose{box}{x\in\left(-3,-2\right)\cup\left(-2,-1\right)}[/dispmath]

ja nmg da vjerujem da sam ja ovo uradio na tvoj nacin i ladno sam napisao da je [inlmath]16-12=2[/inlmath]

i da je to [inlmath]\sqrt2[/inlmath] a ne samo [inlmath]2[/inlmath]... uvijek fulim po bar jedan broj :O

Igleda da se malo više zbunio...

bar me ti razumijes

Iskreno me zanima sta rade svi ljudi odavde