Zadatak: Na skupu [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] definisana je relacija [inlmath]\rho[/inlmath] sa: [inlmath]x\rho y[/inlmath] ako i samo ako [inlmath]7|x^2+4x−y^2−4y[/inlmath]. Ispitati da li je [inlmath]\rho[/inlmath] relacija ekvivalencije i ako jeste odrediti količnički skup.

Dokazao sam da je relacija ekvivalencije, to nije bio problem... Sada, što se tiče količničkog skupa, ja bih to zapisao nekako ovako:
[dispmath]\mathbb{Z}/\rho=\Bigl\{\left\{-(k+4),k\right\}:k\in\mathbb{Z}\Bigr\}[/dispmath] Mislim da kada [inlmath]k[/inlmath] prođe skupom celih brojeva, zaista "pokupi" sve klase ekvivalencije. Zanima me da li je to tačno, kao i da li je zapis korektan.

Ako nekom budućem posetiocu bude potrebno kako se dokazuje da je [inlmath]\rho[/inlmath] relacija ekvivalencije, može da pita.

Pretpostavljam da si do količničkog skupa došao tako što si jednakost [inlmath]x^2+4x-y^2-4y=7k[/inlmath] [inlmath](k\in\mathbb{Z})[/inlmath] zapisao kao [inlmath]x^2-y^2+4x-4y=7k[/inlmath], pa zatim kao [inlmath](x-y)(x+y+4)=7k[/inlmath], čime se dobije [inlmath]y=x+7k\;\lor\;y=3-x+7k[/inlmath]. Odatle imamo sledeće četiri klase ekvivalencije:
[dispmath]C_0=\{7k,\;3+7k\mid k\in\mathbb{Z}\}\\
C_1=\{1+7k,\;2+7k\mid k\in\mathbb{Z}\}\\
C_4=\{4+7k,\;6+7k\mid k\in\mathbb{Z}\}\\
C_5=\{5+7k\mid k\in\mathbb{Z}\}[/dispmath] To znači sledeće:
[dispmath]C_0=\{\ldots,-7,-4,0,3,7,10,\ldots\}\\
C_1=\{\ldots,-6,-5,1,2,8,9,\ldots\}\\
C_4=\{\ldots,-3,-1,4,6,11,13,\ldots\}\\
C_5=\{\ldots,-2,5,12,\ldots\}[/dispmath] Ovako kako si ti zapisao,

Igor je napisao:[dispmath]\mathbb{Z}/\rho=\Bigl\{\left\{-(k+4),k\right\}:k\in\mathbb{Z}\Bigr\}[/dispmath]

to bi značilo da imamo klase ekvivalencije [inlmath]\ldots,\{-1,-3\},\{0,-4\},\{1,-5\},\{2,-6\},\{3,-7\},\{4,-8\},\{5,-9\},\ldots[/inlmath] Dakle, beskonačno mnogo klasa, svaka sa po samo dva elementa. Što, naravno, ne odgovara ovom našem slučaju.

Ja bih, recimo, izabrao ovakav način zapisa:
[dispmath]\mathbb{Z}/\rho=\Bigl\{\{7k,\;3+7k\mid k\in\mathbb{Z}\},\{1+7k,\;2+7k\mid k\in\mathbb{Z}\},\{4+7k\,\;6+7k\mid k\in\mathbb{Z}\},\{5+7k\mid k\in\mathbb{Z}\}\Bigr\}[/dispmath] a što je, zapravo, ako se uporedi s gornjim zapisima za svaku od klasa ekvivalencije, isto što i [inlmath]\mathbb{Z}/\rho=\{C_0,C_1,C_4,C_5\}[/inlmath].

A pri tome znamo i da su skupovi [inlmath]C_0[/inlmath], [inlmath]C_1[/inlmath], [inlmath]C_4[/inlmath] i [inlmath]C_5[/inlmath] medjusobno disjunktni, kao i da njihova unija mora biti ceo prostor, tj. [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath]. Odnosno, da kolicnicki skup vrsi particiju polaznog prostora na medjusobno disjunktne skupove.