Teoreme idu ovako:
Za neprazan skup [inlmath]U\subset X[/inlmath] kažemo da je otvoren u metričkom prostoru [inlmath](X,d)[/inlmath] ako
[dispmath](\forall x\in U)\left(\exists r\in\mathbb{R}^+\right)\;\;L(x,r)\subset U[/dispmath]
Treba mi pojašnjenje ovde, kako ja kontam skup je otvoren ako za svaku tačku ima neki pozitivan broj, sa kojim ta tačka obrazuje loptu koja je u skupu [inlmath]U[/inlmath]. Da li taj skup [inlmath]U[/inlmath] isto mogu da posmatram kao loptu? I ako mogu, šta je sa tačkama koje su na samoj ivici te lopte ili blizu te ivice pa kad uzmemo neki broj i obrazujemo loptu oko te tačke blizu ivice, i ta lopta je delom van skupa [inlmath]U[/inlmath], ta tačka onda ne pripada celom dužinom [inlmath]U[/inlmath] pa skup nije otvoren?

I onda ide definicja:
Za podskup [inlmath]A[/inlmath] metričkog prostora [inlmath]X[/inlmath] kazemo da je zatvoren ako je [inlmath]C_x(A)=X\setminus A[/inlmath] otvoren skup.

Je l' ovo [inlmath]C_x(A)[/inlmath] klasa ekvivalencije? Ako jeste da li sam ja onda dobro preveo: Skup svih skupova [inlmath]A[/inlmath] koji je u prostoru [inlmath]X[/inlmath], bez koji je [inlmath]X[/inlmath] otvoren skup (lopta).
Nisam bas skontao ovu defeniciju jesu li [inlmath]A[/inlmath] otvorene lopte isto? Iili zatvorene. I šta je zatvorena lopta uoptšte ako postoji? Teško mi je to da zamislim kako bi izgledalo kad već koristimo lopte.

Hmm, ovo bi se lakše dalo objasniti u jednodimenzionom ili dvodimenzionom prostoru....

Skup [inlmath]U[/inlmath] može biti "loptastog" oblika ali i ne mora (lopta je neprecizan pojam...).
Vidiš, sama suština otvorenog skupa je to što on nema "ivicu". Zato mi ne možemo nikad postaviti sferu sa proizvoljno malim radijusom tako da se ona nalazi jednim svojim delom van skupa [inlmath]U[/inlmath]. U jednodimenzionim prostorima otvoreni skupovi su otvoreni intervali (samo ime kaže). Tako za svako [inlmath]x[/inlmath] u otvorenom intervalu [inlmath](a,b)[/inlmath], uvek možemo naći dovoljno malo [inlmath]\varepsilon\in\mathbb{R}^+[/inlmath] tako da je [inlmath]x+\varepsilon\in (a,b)[/inlmath] (ili suprotno, [inlmath]x-\varepsilon\le a[/inlmath]). Za neotvorene skupove ta osobina ne važi. Npr. u slučaju intervala [inlmath]\left[a,b\right][/inlmath], za broj [inlmath]b[/inlmath] ne možemo naći dovoljno malo [inlmath]\varepsilon\in\mathbb{R}^+[/inlmath] za koje će [inlmath]b+\varepsilon[/inlmath] biti u datom intervalu. U ovom slučaju brojevi [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] predstavljaju "ivicu" (boundary) koju si spomenuo, i to se najčešće obeležava [inlmath]\partial\left[a,b\right]=\{a,b\}[/inlmath]. Za skupove koji sadrže svoju "ivicu" u sebi kažemo da su zatvoreni ([inlmath]\partial A\in A[/inlmath]). U slučaju "lopte" otvoren skup bi bile sve tačke koje zadovoljavaju nejednakost [inlmath](x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2<r^2\,[/inlmath], ivica ovog skupa bi bile tačke koje zadovoljavaju jednakost [inlmath](x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2[/inlmath] (ovo nazivamo sferom), a unija ivice i otvorenog skupa bi dala kuglu koja se može opisati formulom [inlmath](x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\le r^2[/inlmath]. Treba napomenuti da skup može istovremeno biti i otvoren i zatvoren ili nijedno od ta dva (tj. ove dve osobine se međusobno ne isključuju, kao što bismo očekivali iz njihovih imena).

Oznaka [inlmath]C_x(A)[/inlmath] nije oznaka za klasu ekvivalencije, već samo za skup koji je komplement skupa [inlmath]A[/inlmath] u odnosu na [inlmath]X[/inlmath].

Smem li pitati, odakle ti to prevodiš ?

Kako bi rekao moj prof. prevodim na seljacki

da rezimiram

Skup je otvoren kada mogu da nadjem neki broj(tacku) cija je okolona u samom skupu,a zatvoren kad ne mogu? i ustvari sta ova formula za zatvoreni kaze je da je komplement zatvorenog skupa otvoreni?

fala na razjasnjenju,sad mogu da natavim na okolinu tacke

Odd one out je napisao:Skup je otvoren kada mogu da nadjem neki broj(tacku) cija je okolona u samom skupu,a zatvoren kad ne mogu?

Ne, jer ti i u zatvorenom skupu možeš naći tačku čija je okolina u samom skupu, ako ne biraš tačku na ivici skupa već u njegovoj unutrašnjosti. Prema tome, to što si napisao nije pravilno tumačenje.
Skup je otvoren onda kada, koju god tačku tog skupa da odabereš, njena dovoljno mala okolina će pripadati tom skupu. Za zatvoreni skup to ne važi, jer u zatvorenom skupu možeš odabrati i tačku s ivice tog skupa, a okolina takve tačke, bez obzira koliko mala bila, neće cela pripadati tom (zatvorenom) skupu, već će jedan njen deo biti izvan skupa.

Odd one out je napisao:i ustvari sta ova formula za zatvoreni kaze je da je komplement zatvorenog skupa otvoreni?

Upravo to.