MATEMANIJA

Koja pd sledećih rečenica su tačne za bilo koje skupove [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], a koje ne moraju biti uvek tačne:
1. ako je [inlmath]A\subset B[/inlmath] onda je [inlmath]A\cap B=B[/inlmath]
2. ako je [inlmath]A\subset B[/inlmath] onda je [inlmath]B\setminus A=\emptyset[/inlmath]
3. ako je [inlmath]A\cap B=\emptyset[/inlmath] onda je [inlmath]A=\emptyset[/inlmath] ili [inlmath]B=\emptyset[/inlmath]
4. ako je [inlmath]A\cap B=A[/inlmath] onda [inlmath]A\subset B[/inlmath]
5. ako je [inlmath]A\subset B[/inlmath] onda [inlmath]A\setminus B=\emptyset[/inlmath]
6. ako je [inlmath]A\setminus\emptyset=\emptyset[/inlmath] onda [inlmath]A=\emptyset[/inlmath]
7. ako je [inlmath]A\setminus B\subset B[/inlmath] onda [inlmath]A\subset B[/inlmath]
8. ako je [inlmath]A\cap B=\emptyset[/inlmath] onda je [inlmath]A\setminus B=A[/inlmath]
9. ako je [inlmath]A\cap\emptyset=\emptyset[/inlmath] onda [inlmath]A=\emptyset[/inlmath]
10. ako je [inlmath]A\subset B[/inlmath] onda [inlmath]A\setminus B=\emptyset[/inlmath]
11. ako je [inlmath]A\cap B=A[/inlmath] onda je [inlmath]A=B[/inlmath]

Izvinjavam se na ovolikom zadatku, evo mojih rešenja:
1. Nikada nije tačno (mada nema takvog rešenja u pitanju zadatka)
2. Nije uvek tačno.
3. Nije uvek tačno.
4. Uvek tačno.
5. Uvek tačno.
6. Uvek tačno.
7. Nije uvek
8. Uvek tačno.
9. Nije uvek tačno.
10. Uvek tačno.
11. Nije uvek tačno.

Pošto su svi ovi iskazi implikacije, svaka od njih nekad može biti tačna, makar onda kada je pretpostavka netačna ([inlmath]\bot\Rightarrow p[/inlmath] daje [inlmath]\top[/inlmath], bez obzira na istinitosnu vrednost [inlmath]p[/inlmath]). Konkretno, iskaz pod 1,

ako je [inlmath]A\subset B[/inlmath] onda je [inlmath]A\cap B=B[/inlmath]

biće tačan uvek kada [inlmath]A[/inlmath] nije podskup skupa [inlmath]B[/inlmath], tj. kada pretpostavka implikacije nije tačna (odgovor pod 1. je, dakle – nije uvek tačno). Zbog toga se ne može desiti da neka od ovih implikacija nikad ne bude tačna. Može se samo desiti ili da je uvek tačna, ili da je nekad tačna a nekad netačna.
(Doduše, izuzetak je 9. primer, kod kojeg je pretpostavka [inlmath]A\cap\emptyset=\emptyset[/inlmath] uvek tačna, ali iskaz desno od znaka implikacije, [inlmath]A=\emptyset[/inlmath], nekad može biti tačan a nekad ne, pa je i za tu implikaciju odgovor da je nekad tačna a nekad ne, tj. da nije uvek tačna.)

Ako može samo pojašnjenje, šta tačno znači znak [inlmath]\subset[/inlmath], da li on označava pravi podskup, kako ga većina autora i tretira (tj. da ne važi [inlmath]A\subset A[/inlmath]), ili on dozvoljava i da je [inlmath]A\subset A[/inlmath], kako ga takođe neki autori interpretiraju (mada bi u tom drugom slučaju pravilnije bilo pisati znak [inlmath]\subseteq[/inlmath])?
Od toga zavise odgovori pod 4. i pod 7.
U svakom slučaju, bez obzira na to kako interpretiraš znak [inlmath]\subset[/inlmath], odgovor na 7. trebalo bi da ti bude isti kao i odgovor na 4. Ti si na ova dva pitanja napisao različite odgovore, znači, kod jednog od njih si pogrešio.

Svi ostali odgovori su ti u redu.

5. i 10. primer su identični. Da nije to neka greška?

Daniel je napisao: Ako može samo pojašnjenje, šta tačno znači znak [inlmath]\subset[/inlmath], da li on označava pravi podskup, kako ga većina autora i tretira (tj. da ne važi [inlmath]A\subset A[/inlmath]), ili on dozvoljava i da je [inlmath]A\subset A[/inlmath], kako ga takođe neki autori interpretiraju (mada bi u tom drugom slučaju pravilnije bilo pisati znak [inlmath]\subseteq[/inlmath])?

Da, tu se misli na znak [inlmath]\subseteq[/inlmath]

Daniel je napisao:5. i 10. primer su identični. Da nije to neka greška?

Da tako piše u zadatku, primetio sam i ja.

Miladin Jovic je napisao:Da, tu se misli na znak [inlmath]\subseteq[/inlmath]

Onda ti ne valja pod 7. Implikacija pod 7, dakle, glasi
[dispmath]A\setminus B\subseteq B\quad\Rightarrow\quad A\subseteq B[/dispmath]
[inlmath]A\setminus B\subseteq B[/inlmath] znači sledeće: pošto je [inlmath]A\setminus B[/inlmath] podskup skupa [inlmath]B[/inlmath], svi članovi skupa [inlmath]A\setminus B[/inlmath] su istovremeno i članovi skupa [inlmath]B[/inlmath]. Međutim, članovi skupa [inlmath]A\setminus B[/inlmath], pošto on predstavlja razliku skupa [inlmath]A[/inlmath] i skupa [inlmath]B[/inlmath], ne mogu pripadati skupu [inlmath]B[/inlmath]. Zaključujemo da članovi skupa [inlmath]A\setminus B[/inlmath] istovremeno pripadaju skupu [inlmath]B[/inlmath] i ne pripadaju skupu [inlmath]B[/inlmath], a to znači da je [inlmath]A\setminus B[/inlmath] prazan skup. Odatle sledi da ne postoje članovi skupa [inlmath]A[/inlmath] koji ne pripadaju skupu [inlmath]B[/inlmath], dakle, svi članovi skupa [inlmath]A[/inlmath] pripadaju i skupu [inlmath]B[/inlmath], tj. [inlmath]A\subseteq B[/inlmath], prema tome, zadata implikacija je uvek tačna.

Da li je ovaj iskaz tačan:
[dispmath]\{\{a\},\{b\}\}\in\{\{\{a\},\{b\}\}\}[/dispmath]
Ja mislim da je tačan. U svesci mi piše da nije, tako smo napisali kad smo radili.

Jeste tačan. Isto kao što je tačan iskaz [inlmath]x\in\left\{x\right\}[/inlmath], tj. skup [inlmath]\left\{x\right\}[/inlmath] sadrži element [inlmath]x[/inlmath], a i kao što je tačan iskaz [inlmath]\left\{x\right\}\in\left\{\left\{x\right\}\right\}[/inlmath], tj. skup [inlmath]\left\{\left\{x\right\}\right\}[/inlmath] sadrži skup [inlmath]\left\{x\right\}[/inlmath], tako isto i skup [inlmath]\left\{\left\{\left\{a\right\},\left\{b\right\}\right\}\right\}[/inlmath] sadrži skup [inlmath]\left\{\left\{a\right\},\left\{b\right\}\right\}[/inlmath].

Evo i kako bi to grafički bilo predstavljeno:


(Naravno, na ovom crtežu skupovi unutar drugih skupova ne predstavljaju podskupove, već skupove kao elemente onog skupa koji ih sadrži.)