MATEMANIJA

Utvrditi koje od sledećih rečenica su tačne, ako rečenica nije tačna navesti kontraprimer.
1) [inlmath](A\cap B)\cap(A\cap C)=A[/inlmath]
2) [inlmath](A\cap B)\setminus (A\cap C)=A[/inlmath]

Zadatak mi nekako nije definisan. Ako sva tri skupa seku, onda nije tačno. E sad za pod 1 ako je [inlmath]A\subseteq C\subseteq B[/inlmath] onda je tačno.Ili ako je [inlmath]A\subseteq B[/inlmath] a skup [inlmath]C[/inlmath] nema nikakve preseke ni sa [inlmath]A[/inlmath] ni sa [inlmath]C[/inlmath] onda je takođe tvrdnja tačna. Je l‘ ovo ide u dobrom pravcu ili da menjamo kormilara?

Pa, ne, ne traži se u zadatku da navedeš slučajeve kad tvrdnje jesu tačne, već, naprotiv, da navedeš kontraprimere, tj. slučajeve kad tvrdnje nisu tačne (ako takvi slučajevi postoje).

Ali, kad si već krenuo tako, onda hajd' da proanaliziramo.

Miladin Jovic je napisao:E sad za pod 1 ako je [inlmath]A\subseteq C\subseteq B[/inlmath] onda je tačno.

Da, jer je tada [inlmath]\left(A\cap B\right)=A[/inlmath] i [inlmath]\left(A\cap C\right)=A[/inlmath], pa je
[dispmath]\left(A\cap B\right)\cap\left(A\cap C\right)=A\cap A=A[/dispmath]

Miladin Jovic je napisao:Ili ako je [inlmath]A\subseteq B[/inlmath] a skup [inlmath]C[/inlmath] nema nikakve preseke ni sa [inlmath]A[/inlmath] ni sa [inlmath]\color{red}C[/inlmath] onda je takođe tvrdnja tačna.

Iako nisi naglasio, pretpostavljam da se ovo odnosi na 2). I da si, umesto ovog crvenog, hteo da napišeš [inlmath]B[/inlmath]. Jeste, tada je iskaz tačan i, još opštije, [inlmath]C[/inlmath] može i imati presek sa skupom [inlmath]B[/inlmath], ali ne sme i sa skupom [inlmath]A[/inlmath].

---

A sad ono što se u zadatku i traži – kontraprimeri. Već si naveo kontraprimer kad se sva tri skupa seku, to je onaj opšti slučaj, ali ako je potrebno navesti takve kontraprimere da se uvrštavanjem u zadate iskaze dođe do kontradikcije, evo nekoliko takvih kontraprimera:

Pod 1) ti je kontraprimer situacija kada je [inlmath]A[/inlmath] neprazan skup koji nema presek ili sa skupom [inlmath]B[/inlmath], ili sa skupom [inlmath]C[/inlmath], ili sa oba skupa [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath].
Ako nema presek sa skupom [inlmath]B[/inlmath], tj. ako je [inlmath]A\cap B=\emptyset[/inlmath]:
[dispmath]\cancelto{\emptyset}{\left(A\cap B\right)}\cap\left(A\cap C\right)=\emptyset\cap\left(A\cap C\right)=\emptyset\ne A[/dispmath]
Slično i kada je [inlmath]A\cap C=\emptyset[/inlmath].

Pod 2) ti je jedan kontraprimer kada je [inlmath]A[/inlmath] neprazan skup koji nema presek sa skupom [inlmath]B[/inlmath]:
[dispmath]\cancelto{\emptyset}{\left(A\cap B\right)}\setminus\left(A\cap C\right)=\emptyset\setminus\left(A\cap C\right)=\emptyset\ne A[/dispmath]
Drugi kontraprimer bi, recimo, bio kada je [inlmath]A[/inlmath] neprazan skup i [inlmath]C=A[/inlmath]:
[dispmath]\left(A\cap B\right)\setminus\left(A\cap C\right)=\left(A\cap B\right)\setminus\left(A\cap A\right)=\left(A\cap B\right)\setminus A=\cancelto{\emptyset}{\left(A\setminus A\right)}\cap\left(B\setminus A\right)=\emptyset\cap\left(B\setminus A\right)=\emptyset\ne A[/dispmath]