MATEMANIJA

Bok, jel moze netko kratko objasnit kako ovo rijesit: [inlmath]\left\{(x,y)\;\left|\;3x^2+4y^2=12,\;x\in\mathbb{R}\right.\right\}[/inlmath]. Unaprijed hvala.

Bok, a šta se tačno traži u ovom zadatku? Ovako kako je napisano, time je skup uređenih parova [inlmath]\left(x,y\right)[/inlmath] već određen, jer ako se u jednačini [inlmath]3x^2+4y^2=12[/inlmath] obe strane podele sa [inlmath]12[/inlmath], dobije se [inlmath]\displaystyle\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{\left(\sqrt3\right)^2}=1[/inlmath], što u Dekartovom koordinatnom sistemu predstavlja elipsu s centrom u koordinatnom početku, čija je velika poluosa [inlmath]2[/inlmath] a mala poluosa [inlmath]\sqrt3[/inlmath].

Dakle, kako tačno glasi tekst zadatka?

Ujedno bih ti poželeo dobrodošlicu na forum, uz molbu da se upoznaš s našim Pravilnikom.

Hvala na pojasnjenju. Zadatak glasi: Prikazite graficki skupove i nakon toga je napisan taj skup. Nakon ovog sto ste napisali vidim da to nije nesto sto smo radili na faksu. Htio bih onda pitati za jedan, cini mi se jednostavniji primjer. Dakle primjer glasi ovako: Prikazite graficki skupove:
[dispmath]\left\{(x,y)\;\left|\;y=x^2+1,\;x\in\mathbb{R}\right.\right\}[/dispmath]

[inlmath]y=x^2+1[/inlmath] predstavlja kvadratnu funkciju, a grafički prikaz kvadratne funkcije u Dekartovom koordinatnom sistemu predstavlja parabolu.

Kvadratna funkcija u opštem slučaju glasi [inlmath]y=ax^2+bx+c[/inlmath], a u ovom tvom primeru je [inlmath]a=1,\;b=0,\;c=1[/inlmath].
Kako se oblik parabole menja u zavisnosti od ovih parametara, a samim tim i kako parabola tačno izgleda u tvom primeru, biće ti sasvim jasno ako pogledaš animaciju kvadratne funkcije.

Hvala na pomoci. Sad vidim da je to meni nesto potpuno strano. Ja sam mislio da se taj zadatak rijesi tako da se prvo odredi raspon tog skupa. Npr. za ovaj zadnji zadatak sam mislio da je [inlmath]y=\left[1,+\infty\right>[/inlmath]. Tako sam mislio jer ako je [inlmath]x[/inlmath] realan broj, tada [inlmath]x^2+1[/inlmath] mogu kao rezultat dati bilo koji realni broj [inlmath]y[/inlmath] u rasponu [inlmath]\left[1,+\infty\right>[/inlmath]. Nakon toga sam mislio da se to jednostavno oznaci na ordinati i to je to, ali cini se da sam puno fulao .

Nije ni meni baš najjasnije šta u tekstu znači to „prikazati skupove grafički“. Ako znači to da se geometrijska mesta tih tačaka čije koordinate predstavljaju [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] predstavi u Dekartovom koordinatnom sistemu, onda je ovako kako sam ti napisao.
Radi predstavljanja parabole, potrebno je još da znaš kako računaš koordinate njenog temena.
Za kvadratnu funkciju u opštem obliku, [inlmath]y=ax^2+bx+c[/inlmath], [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena njene parabole ([inlmath]x_T[/inlmath]) računa se po formuli [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/inlmath].
[inlmath]y[/inlmath]-koordinatu temena parabole ([inlmath]y_T[/inlmath]) možeš računati na jedan od sledeća dva načina:
– prvi način je da vrednost koju si dobio za [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu temena uvrstiš umesto [inlmath]x[/inlmath] u izraz za funkciju, [inlmath]ax^2+bx+c[/inlmath];
– drugi način je da primeniš gotovu formulu za [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu temena parabole, koja glasi [inlmath]\displaystyle y_T=\frac{4ac-b^2}{4a}[/inlmath].
Savetujem ti da uradiš na oba ova načina i, ako oba puta dobiješ jednaka rešenja za [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu parabole, znači da si sve ispravno odradio.

---

Iako ne verujem, bar prema tekstu zadatka, da se traži raspon skupova, možemo i to razmotriti, ne može da škodi.
Kod onog prvog zadatka (jednačine elipse), [inlmath]3x^2+4y^2=12[/inlmath], možemo jednu promenljivu izraziti preko druge, recimo [inlmath]y[/inlmath] preko [inlmath]x[/inlmath]:
[dispmath]\left.4y^2=12-3x^2\quad\right/:4\\
\left.y^2=3-\frac{3}{4}x^2\quad\right/\sqrt{\enspace}\\
\sqrt{y^2}=\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}\\
\left|y\right|=\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}\\
y=\pm\sqrt{3-\frac{3}{4}x^2}[/dispmath]
Vidimo da će [inlmath]y[/inlmath] biti definisano uvek kada je definisan i izraz na desnoj strani, a on će biti definisan kada je potkorena velićina veća od nule ili jednaka nuli. Znači,
[dispmath]3-\frac{3}{4}x^2\ge0\\
\frac{\cancel3^1}{4}x^2\le\cancel3^1\\
x^2\le4\\
\enclose{box}{-2\le x\le2}[/dispmath]
Na vrlo sličan način je moguće pokazati i da za [inlmath]y[/inlmath] mora važiti [inlmath]-\sqrt3\le y\le\sqrt3[/inlmath], tako što se sada promenljiva [inlmath]x[/inlmath] izrazi preko promenljive [inlmath]y[/inlmath]. To prepuštam tebi.


Za [inlmath]y=x^2+1[/inlmath] si tačno odredio interval kojem mora pripadati [inlmath]y[/inlmath], dok [inlmath]x[/inlmath] može biti bilo koji realan broj.