MATEMANIJA

Imam problem da dokazem sledeca dva prosta tvrdjenja.
Imamo [inlmath]f:\;\mathcal{P}(X)\to\mathcal{P}(Y),\;A_1,A_2\subset X[/inlmath]
[dispmath]f[A_1\cup A_2]=f[A_1]\cup f[A_2]\\
f[A_1\cap A_1]\subset f[A_1]\cap f[A_2][/dispmath]
Definicja [inlmath]f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}[/inlmath]
Ne mora sve u detalje. Imam jedan dokaz u profesorovoj skripti za ovu drugu formulu ali ne i prvu i jos mnogo njih tog tipa.
Da li moram da u prvoj dokazujem obe inkluzije(i kako to uraditi za drugu inkluziju specijalno) ?

Da, za prvu skupovnu jednakost je potrebno pokazati obe inkluzije. Naime, skupovna jednakost [inlmath]A=B\iff\!A\subseteq B\wedge B\subseteq A[/inlmath]. Takodje, [inlmath]A\subseteq B\iff(\forall x)(x\in A\;\Longrightarrow\;x\in B)[/inlmath].

Dakle, da bi pokazao drugu inkluziju, odnosno da je [inlmath]f[A_1]\cup f[A_2]\subseteq f[A_1\cup A_2][/inlmath] (ako sam te ja dobro shvatio) potrebno je da uzmes proizvoljan element [inlmath]y\in f[A_1]\cup f[A_2][/inlmath] i da pokazes da vazi i [inlmath]y\in f[A_1\cup A_2][/inlmath]. Ako to pokazes za proizvoljno [inlmath]y[/inlmath] iz [inlmath]f[A_1]\cup f[A_2][/inlmath], onda ce to vaziti i za svaki element iz tog skupa, tj. time ce biti pokazano da je [inlmath]f[A_1]\cup f[A_2]\subseteq f[A_1\cup A_2][/inlmath].

Ne znam bas koji deo te buni, al evo neki mini pocetak (bez koriscenja kvantifikatora, implikacija, i slicnog (tj. strogog matematickog zapisa)). Naime, ako [inlmath]y\in f[A_1]\cup f[A_2][/inlmath], to onda [inlmath]y\in f[A_1][/inlmath] ili [inlmath]y\in f[A_2][/inlmath], sto nam po definiciji [inlmath]f[\,\cdot\,][/inlmath] daje da postoji neko [inlmath]x_1\in A_1[/inlmath] takvo da je [inlmath]y=f(x_1)[/inlmath] ili da postoji neko [inlmath]x_2\in A_2[/inlmath] takvo da je [inlmath]y=f(x_2)[/inlmath]. Da li bi odatle mogao da zakljucis da postoji neko [inlmath]x\in A_1\cup A_2[/inlmath] takvo da je [inlmath]y=f(x)[/inlmath]? Time bi i zavrsio zadatak, jer bi iz ovog poslednjeg (ako bi ga pokazao) sledilo da [inlmath]y\in f[A_1\cup A_2][/inlmath].

Mogao bi da zakljucim(razumam ja sta kaze i imam sliku u glavi) ali sta ja sad treba da napisem?
Mislim ja bi rekao ovako posto imamo da za [inlmath]x\in A_1[/inlmath] ili [inlmath]x\in A_2[/inlmath] postoji [inlmath]y[/inlmath] takvo da je [inlmath]y=f(x)[/inlmath]. Zakljucujemo da za [inlmath]x\in A_1\cup A_2[/inlmath] postoji [inlmath]y=f(x)[/inlmath] pa prema definiciji [inlmath]y\in f[A_1\cup A_2][/inlmath]. Da li je ovo uredu?

Pa, nije bas u redu (mada, blizu si resenja). Naime, nisam bas bez razloga pisao [inlmath]x_1\in A_1[/inlmath] i [inlmath]x_2\in A_2[/inlmath], a ne [inlmath]x\in A_1[/inlmath] i [inlmath]x\in A_2[/inlmath], jer to mogu biti (i u vecini slucajeva (da ne kazem, skoro uvek) i jesu) razliciti elementi (pa uzmi samo npr. da su [inlmath]A_1[/inlmath] i [inlmath]A_2[/inlmath] disjunktni (a taj slucaj nam niko ne zabranjuje), onda je sigurno [inlmath]x_1\neq x_2[/inlmath]). Ali, da, neka ideja bi bila da [inlmath]A_1\subseteq A_1\cup A_2[/inlmath] i da je [inlmath]A_2\subseteq A_1\cup A_2[/inlmath], i kad uzmemo prethodno, to bi trebalo da smo na pragu resenja. Hajmo ponovo.

I da, u celom svom proslom postu si neke stvari obrnuo. Nije da za [inlmath]x[/inlmath] postoji [inlmath]y[/inlmath] takvo da vazi [inlmath]y=f(x)[/inlmath], vec za [inlmath]y[/inlmath] postoji [inlmath]x[/inlmath] takvo da je [inlmath]y=f(x)[/inlmath] (ovo pricam u opstoj varijanti, ne vezano za konkretno [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] iz tvog posta (tj. ista je prica za [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath]).

Evo da probam ponovo.
Imamo da [inlmath]x_1\in A_1[/inlmath] ili [inlmath]x_2\in A_2[/inlmath]. Posto je [inlmath]A_1\subset A_1\cup A_2[/inlmath] kako za [inlmath]y=f(x_1)[/inlmath] postoji [inlmath]x_1\in A_1\subset A_1\cup A_2[/inlmath] to znaci [inlmath]y\in f[A_1\cup A_2][/inlmath]. Analogno za drugi slucaj, pa dobijamo da [inlmath]f[A_1\cup A_2]\supset f[A_1]\cup f[A_2][/inlmath]
Nadam se da je sad bolje (sigurno nije tacno do kraja).
Meni ovakva sorta dokaza deluje prosipanje iz supljeg u prazno.

Pa tako kad se zapise onda i jeste presipanje iz supljeg u prazno. Ja imam neke zamerke na tvoj prethodni post, pre svega zbog nekih nepreciznosti i „sklapanja“ samih recenica. Ali dobro, moze da prodje.

Inace, napomenuo bih da vazi [inlmath]f[A_1]\cap f[A_2]\subseteq f[A_1\cap A_2][/inlmath] ako i samo ako je [inlmath]f[/inlmath] injektivna ([inlmath]1-1[/inlmath]) funkcija. Tacnije, vazi


Dakle, da bismo nasli primer funkcije [inlmath]f[/inlmath] takve da vazi [inlmath]f[A_1]\cap f[A_2]\not\subseteq f[A_1\cap A_2][/inlmath] dovoljno je da uzmemo bilo koju funkciju [inlmath]f[/inlmath] koja nije injektivna. Na primer, neka je [inlmath]f\colon\;\mathcal{P}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}(\mathbb{R})[/inlmath] data sa [inlmath]f(x)=x^2[/inlmath] i neka je [inlmath]A_1=(1,2)[/inlmath] i [inlmath]A_2=(-2,-1)[/inlmath]. Tada je [inlmath]A_1\cap A_2=\emptyset[/inlmath], a [inlmath]f[\emptyset]=\emptyset[/inlmath] (to vazi i za proizvoljnu funkciju, da se dokazati), dok je [inlmath]f[A_1]\cap f[A_2]=(1,4)\cap(1,4)=(1,4)[/inlmath], i ocigledno [inlmath](1,4)\not\subseteq\emptyset[/inlmath]. (naravno, mogao je i jednostavni primer, no dobro)