MATEMANIJA

Imam zadatak koji glasi:
Neka je [inlmath]f:\;\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}[/inlmath] preslikavanje definisano sa:
[dispmath]f\left(x\right)=\begin{cases}
-x-1, & \le-2\\
\displaystyle x-3\over\displaystyle x+2 & x>-2
\end{cases}[/dispmath]
Treba dokazati da je [inlmath]f[/inlmath] bijekcija i naći jezgrofunkcije [inlmath]f[/inlmath].
E sad ja sam to pokušala ovako:
Dokazujem prvo da je [inlmath]f\left(x\right)=-x-1[/inlmath] injektivno preslikavanje tj. da važi:
[dispmath]f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\;\Rightarrow\;x_1=x_2[/dispmath][dispmath]-x_1-1=-x_2-1[/dispmath][dispmath]-x_1+x_2=0[/dispmath][dispmath]x_1=x_2[/dispmath]
2. Dokazujemo da je sirjekcija tj."na" preslikavanje:
Neka je [inlmath]y\in\mathbb{R}[/inlmath]. Iz [inlmath]y=-x-1[/inlmath] dobijemo da je [inlmath]x=-y-1[/inlmath] , pa zaključujemo da za sve [inlmath]y\in\mathbb{R}[/inlmath] postoji [inlmath]x=-y-1[/inlmath] koje se u njega preslikava

Na isti način dokazujem da je [inlmath]\displaystyle f\left(x\right)=\frac{x-3}{x+2}[/inlmath] takodje injekcija. Međutim ta funkcija nije sirjekcija , jer iz
[dispmath]y={x-3\over x+2}[/dispmath]
dobijamo
[dispmath]x={-2y-3\over y-1}[/dispmath]
što znači da je kodomen [inlmath]\mathbb{R}\setminus\{1\}[/inlmath]. Ali kako je za [inlmath]x=-2[/inlmath] iz
[dispmath]f\left(x\right)=-x-1[/dispmath][dispmath]y=1[/dispmath]
to dokazuje da je cela funkcija i injekcija i surjekcija , što znači da je bijekcija.

Molila bih nekog da mi razjasni jezgro funkcije, jer to baš ne razumem, tako da taj deo zadatka nisam ni rešavala. Takođe molila bih komentar na dokaz, ima li grešaka i ako ima koje su. Unapred hvala!

Prvo, sve pohvale za način na koji si postavila pitanje.

Što se tiče dokaza bijekcije, sasvim su ti korektni odvojeni postupci za [inlmath]y=-x-1[/inlmath] i za [inlmath]\displaystyle y=\frac{x-3}{x+2}[/inlmath]. Međutim, to ne znači nužno i da je sama funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] bijekcija (u ovom slučaju jeste, ali to treba ispitati na drugi način). A evo i jednog primera koji pokazuje to o čemu govorim – zamislimo da je funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] zadata na sledeći način:
[dispmath]f\left(x\right)=\begin{cases}
x, & x\ge0\\
-x, & x<0
\end{cases}[/dispmath]
Funkcija [inlmath]y=x[/inlmath] je bijekcija, funkcija [inlmath]y=-x[/inlmath] je takođe bijekcija. Međutim, ovako definisana funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] neće biti ni injekcija ni surjekcija. Injekcija neće biti jer npr. [inlmath]x=-2[/inlmath] i [inlmath]x=2[/inlmath] daju istu vrednost funkcije, tj. [inlmath]f\left(-2\right)=f\left(2\right)=2[/inlmath]. Takođe, neće biti ni surjekcija, jer ni za jednu vrednost promenljive [inlmath]x[/inlmath] ne može se dobiti npr. [inlmath]f\left(x\right)=-5[/inlmath] (niti bilo koja negativna vrednost).

---

E, zato je ovde potrebno malo ispitivanja funkcija.
Funkcija [inlmath]y=-x-1[/inlmath] je na intervalu koji je od značaja, [inlmath]\left(-\infty,-2\right][/inlmath], monotono opadajuća i vrednost joj je u opsegu [inlmath]\left[1,+\infty\right)[/inlmath].
Funkcija [inlmath]y=\displaystyle\frac{x-3}{x+2}[/inlmath] je na intervalu koji je od značaja, [inlmath]\left(-2,+\infty\right)[/inlmath], monotono rastuća (vidi se po njenom prvom izvodu, koji je uvek pozitivan) i vrednost joj je u opsegu [inlmath]\left(-\infty,1\right)[/inlmath].

Pošto su obe funkcije na svojim intervalima monotone, samim tim su na tim intevalima injektivne, a pošto se intervali mogućih vrednosti jedne i druge funkcije ne preklapaju, samim tim je injektivna i funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath].

Pošto prva funkcija na svom intervalu ima moguće vrednosti u intervalu [inlmath]\left[1,+\infty\right)[/inlmath], a druga funkcija na svom intervalu ima moguće vrednosti u intervalu [inlmath]\left(-\infty,1\right)[/inlmath], moguće vrednosti funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] će pripadati uniji ova dva intervala, a unija ta dva intervala je ceo skup realnih brojeva, prema tome, funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] jeste surjekcija.

---

Definicija jezgra funkcije glasi:

Jezgro funkcije [inlmath]f:\;A\to B[/inlmath] je binarna relacija [inlmath]\ker f[/inlmath] na [inlmath]A[/inlmath] definisana sa
[dispmath]\left(x_1,x_2\right)\in\ker f\iff f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)[/dispmath]
Pošto je funkcija koju posmatramo injektivna i nije moguće da za različite elemente daje istu vrednost, zaključujemo da je jezgro ove funkcije takva relacija u kojoj je svaki element u vezi sa samim sobom, dok nikoja dva različita elementa nisu u međusobnoj vezi.