MATEMANIJA

Pozdrav
Potrebna mi je pomoc za jedan zadatak.

Zadatak glasi: ispitati da li je [inlmath]\rho[/inlmath] relacija ekvivalencije na skupu [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] i ako jeste naci [inlmath]C_0,C_1, C_2[/inlmath]. Relacija [inlmath]\rho[/inlmath] je definisana sa [inlmath]x\rho y\iff\left(x^2-y^2\right)\left(x^2y^2-1\right)=0[/inlmath].

Za refleksivnost sam uradio:
[inlmath]x\rho y\iff\left(x^2-x^2\right)\left(x^2x^2-1\right)=0[/inlmath]
[inlmath]\cancelto{0}{\left(x^2-x^2\right)}\left(x^2x^2-1\right)=0[/inlmath]
slijedi da vazi refleksivnost.

Za simetricnost sam uradio:
[inlmath]x\rho y\iff\left(x^2-y^2\right)\left(x^2y^2-1\right)=0[/inlmath]
pa izvukao minus ispred prve zagrade i zamijenio mjesta u drugoj zagradi (jer je mnozenje komutativno u skupu [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]):
[inlmath]-\left(y^2-x^2\right)\left(y^2x^2-1\right)=0[/inlmath]
a to je isto sto i
[inlmath](-1)\left(y^2-x^2\right)\left(y^2x^2-1\right)=0[/inlmath]
sto znaci da [inlmath]\left(y^2-x^2\right)\left(y^2x^2-1\right)=0[/inlmath], jer [inlmath](-1)[/inlmath] sigurno nije. Time sam dokazao [inlmath]y\rho x[/inlmath]

Za tranzitivnost:
[inlmath]x\rho y\iff\left(x^2-y^2\right)\left(x^2y^2-1\right)=0[/inlmath] i [inlmath]y\rho z\iff\left(y^2-z^2\right)\left(y^2z^2-1\right)=0[/inlmath]


ali ne znam kako dalje?

Ako su dva broja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] u datoj relaciji tada ili je [inlmath]x^2-y^2=0[/inlmath] ili je [inlmath]x^2y^2-1=0[/inlmath], što se dalje svodi na [inlmath]|x|=|y|[/inlmath] ili [inlmath]|x|=\frac{1}{|y|}[/inlmath].
Isto tako znaš da je i [inlmath]|z|=|y|[/inlmath] ili [inlmath]|z|=\frac{1}{|y|}[/inlmath] ako važi [inlmath]z\rho y[/inlmath].
Sada uporedi izrazi [inlmath]x[/inlmath] preko [inlmath]z[/inlmath] ili [inlmath]z[/inlmath] preko [inlmath]x[/inlmath]....

Najbolje je da za [inlmath]x[/inlmath] uzmeš jedan određen broj i vidiš koji su sve brojevi u relaciji sa njim (uzmi npr. [inlmath]2[/inlmath]).
Nula i jedinica su specijalni slučajevi za ovu relaciju. Ostali brojevi spadaju u neku od četvoročlanih klasa [inlmath]C_n=\{n,-n,\frac{1}{n},-\frac{1}{n}\}[/inlmath].

U drugoj zagradi prvog izraza vazi [inlmath]|x|=\frac{1}{|y|}[/inlmath] ili [inlmath]|y|=\frac{1}{|z|}[/inlmath]
Iz druge zagrade drugog izraza slijedi [inlmath]|y|=\frac{1}{|x|}[/inlmath]
Ako izjednacim [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] dobijem [inlmath]\frac{1}{|x|}=\frac{1}{|z|}[/inlmath]

A trebao bi dobiti [inlmath]|x|=\frac{1}{|z|}[/inlmath]

Nema veze. Iz [inlmath]\frac{1}{|x|}=\frac{1}{|y|}[/inlmath] sledi naravno da je [inlmath]|x|=|y|[/inlmath], što znači da su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] u relaciji.

Da, da.
To znaci da ce u prvoj zagradi biti nula i u mnozenju to svakako daje nulu.

Zahvaljujem se na pomoci