MATEMANIJA

dragi forumasi treba mi mala pomoc oko sledece teoreme: svaki otvoren skup [inlmath]V[/inlmath] u [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] se moze predstaviti kao najvise prebrojiva unija intervala sa racionalnim krajevima. Dokaz ide tako sto se uoci [inlmath]\varepsilon[/inlmath] okolina proizvoljne tacke [inlmath]x[/inlmath], oko tacke [inlmath]x[/inlmath] racionalni brojevi [inlmath]px[/inlmath] i [inlmath]qx[/inlmath] i zatim je unija intervala sa krajevima [inlmath]px[/inlmath] i [inlmath]qx[/inlmath] nadskup i podskup od [inlmath]V[/inlmath]. Zasto?

Ako je [inlmath]V[/inlmath] otvoren skup u [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], onda se posmatra familija [inlmath]\mathcal{F}=\{(p_i,q_i)\mid(p_i,q_i)\subseteq V,\,p_i,q_i\in\mathbb{Q},i\in\Lambda\subseteq\mathbb{N}\}[/inlmath] i tvrdi se da je [inlmath]V=\bigcup\limits_{A\in\mathcal{F}}A[/inlmath] (ova unija je prebrojiva jer je familija [inlmath]\mathcal{F}[/inlmath] prebrojiva posto racionalnih brojeva ima prebrojivo mnogo). Dokaz ide tako sto se pokazu obe inkluzije:

- ako [inlmath]x\in V[/inlmath] tada zbog otvorenosti skupa [inlmath]V[/inlmath] postoji neka epsilon okolina [inlmath](x-\varepsilon,x+\varepsilon)[/inlmath] takva da je [inlmath](x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq V[/inlmath], a kako su racionalni gusti u skupu realnih brojeva (tj. izmedju svaka dva realna broja postoji neki racionalan) to postoje racionalni brojevi [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] takvi da je [inlmath]x-\varepsilon<p<x<q<x-\varepsilon[/inlmath], pa [inlmath]x\in(p,q)\subset V[/inlmath], a time i [inlmath]x\in\bigcup\limits_{A\in\mathcal{F}}A[/inlmath].

- ako [inlmath]x\in\bigcup\limits_{A\in\mathcal{F}}A[/inlmath] tada [inlmath]x\in(p,q)[/inlmath] za neki skup [inlmath](p,q)\in\mathcal{F}[/inlmath], pa [inlmath]x\in V[/inlmath] jer je [inlmath](p,q)\subseteq V[/inlmath].