MATEMANIJA

U [inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath] definisana je binarna relacija [inlmath]\rho[/inlmath] na sljedeći način
[dispmath]x,y\in\mathbb{R}^2,\quad x=(x_1,y_1),\;y=(x_2,y_2),\quad x\rho y\iff|x_1-x_2|=|y_1-y_2|[/dispmath] Ispitati da li je [inlmath]\rho[/inlmath] relacija ekvivalencije i ukoliko jeste odrediti [inlmath]C_{(0,0)},C_{(1,2)}[/inlmath].

Kod simetričnosti me zanima da li mogu reći da je [inlmath]|x_1-x_2|=|x_2-x_1|[/inlmath], a [inlmath]|y_1-y_2|=|y_2-y_1|[/inlmath] i tako dokazati da je [inlmath]y\rho x[/inlmath]?

A što se tiče tranzitivnosti stvarno nemam ideju kako da dokažem da je [inlmath]x\rho z[/inlmath] ako [inlmath]\forall x,y,z\in\mathbb{R}^2,\quad z=(x_3,y_3),\quad x\rho y\wedge y\rho z[/inlmath], tj.
[dispmath]|x_1-x_2|=|y_1-y_2|\wedge|x_2-x_3|=|y_2-y_3|[/dispmath]

Ilija Varvarin je napisao:Kod simetričnosti me zanima da li mogu reći da je [inlmath]|x_1-x_2|=|x_2-x_1|[/inlmath], a [inlmath]|y_1-y_2|=|y_2-y_1|[/inlmath] i tako dokazati da je [inlmath]y\rho x[/inlmath]?

Možeš i tako. Neki moj način bi bio krenuti od pretpostavke [inlmath]x\rho y\;\Longrightarrow\;y\rho x[/inlmath] koju treba ili dokazati ili opovrgnuti, zatim [inlmath]x\rho y[/inlmath] zameniti (gledajući u definiciju relacije [inlmath]\rho[/inlmath]) sa [inlmath]|x_1-x_2|=|y_1-y_2|[/inlmath], a [inlmath]y\rho x[/inlmath] isto tako zameniti sa [inlmath]|x_2-x_1|=|y_2-y_1|[/inlmath]. Nakon toga se primene te jednakosti koje si napisao.

Ilija Varvarin je napisao:A što se tiče tranzitivnosti stvarno nemam ideju kako da dokažem da je [inlmath]x\rho z[/inlmath] ako [inlmath]\forall x,y,z\in\mathbb{R}^2,\quad z=(x_3,y_3),\quad x\rho y\wedge y\rho z[/inlmath], tj.
[dispmath]|x_1-x_2|=|y_1-y_2|\wedge|x_2-x_3|=|y_2-y_3|[/dispmath]

Tranzitivnost ne važi, a kontraprimer bi bio [inlmath]x=(0,0)[/inlmath], [inlmath]y=(1,1)[/inlmath], [inlmath]z=(0,2)[/inlmath].