MATEMANIJA

U skupu [inlmath]S=\left\{-2,-1,0,1,2,3\right\}[/inlmath] definisana je relacija [inlmath]\rho[/inlmath] sa
[dispmath]\left(\forall a,b\in S\right)a\rho b\iff 2ab\geq a+b[/dispmath] Ispitati osobine relacije [inlmath]\rho[/inlmath]. Ukoliko je data relacija ekvivalencije naci sve klase.

[inlmath]1^\circ[/inlmath] Refleksivnost vrijedi, jer ako uzmemo bilo koji element iz skupa [inlmath]S[/inlmath] vidimo da je on u relaciji sa samim sobom.
[inlmath]2^\circ[/inlmath] Simetricnost [inlmath]\left(\forall a,b\in S\right)a\rho b\;\Longrightarrow\;b\rho a[/inlmath] vrijedi jer ako uzmemo
[dispmath]a\rho b\iff 2ab\geq a+b\iff 2ba\geq b+a\iff b\rho a[/dispmath]
Nadam se da je ovo do sad dobro ispitano. Simetricnost me zbunjuje jer nikako ne mogu da izrazim [inlmath]x[/inlmath] preko [inlmath]z[/inlmath], a asistent je spomenuo posto je skup mali da se to moze rucno ispitati za sve elemente da vrijedi. Da li to znaci da ja mogu da uzmem na primjer [inlmath]\left(-2\right)\rho\left(-1\right)\land\left(-1\right)\rho\,0\;\Longrightarrow\;\left(-2\right)\rho\,0[/inlmath] pa da sad pokazem da su elementi [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] u relaciji, da je [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath] u relaciji i da pokazem da je [inlmath]-2[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]0[/inlmath], te da tako ispitam za sve brojeve iz skupa [inlmath]S[/inlmath] ili ima neki laksi nacin da se to dokaze?

Ispravno si ispitao refleksivnost i simetričnost.

wolf11 je napisao:a asistent je spomenuo posto je skup mali da se to moze rucno ispitati za sve elemente da vrijedi.

Skup jeste mali, ali broj mogućnosti za ispitivanje tranzitivnosti baš i nije, ima ih [inlmath]60[/inlmath]. Bilo bi ih i više da refleksivnost i simetričnost nisu već dokazane (sad ću malo da gušim s kombinatorikom, ali koga ne zanima može i da preskoči ovaj pasus jer i nije previše bitan za rešavanje ovog zadatka). Ovako s refleksivnošću i simetričnošću, svi iskazi u kojima se jedan element ponavlja, npr. [inlmath]a\rho b\;\land\;b\rho b\;\Longrightarrow\;a\rho b[/inlmath], automatski su tačni zbog refleksivnosti, a takođe i iskaz tipa [inlmath]a\rho b\land b\rho c\;\Longrightarrow\;a\rho c[/inlmath] ekvivalentan je iskazu [inlmath]c\rho b\land b\rho a\;\Longrightarrow\;c\rho a[/inlmath] (zbog simetričnosti), tako da, nakon što izaberemo vrednost za [inlmath]b[/inlmath] (što možemo učiniti na [inlmath]6[/inlmath] načina budući da imamo [inlmath]6[/inlmath] elemenata skupa), treba da od preostalih [inlmath]5[/inlmath] elemenata izaberemo [inlmath]2[/inlmath] koja ćemo dodeliti oznakama [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] (pri čemu redosled ta dva elementa nije bitan, zbog prethodno pokazanog). Znači, [inlmath]6\cdot{5\choose2}=60[/inlmath] mogućnosti.

wolf11 je napisao:Da li to znaci da ja mogu da uzmem na primjer [inlmath]\left(-2\right)\rho\left(-1\right)\land\left(-1\right)\rho\,0\;\Longrightarrow\;\left(-2\right)\rho\,0[/inlmath] pa da sad pokazem da su elementi [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] u relaciji, da je [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath] u relaciji i da pokazem da je [inlmath]-2[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]0[/inlmath], te da tako ispitam za sve brojeve iz skupa [inlmath]S[/inlmath]

Otprilike. Nisi se baš dobro izrazio, jer ne treba da pokažeš da su elementi [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] u relaciji i da su elementi [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath] u relaciji, već treba da pokažeš da, ako su elementi [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] u relaciji i elementi [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath] u relaciji, tada će elementi [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath] biti u relaciji.
Ukoliko utvrdiš da početna pretpostavka ne važi, tj. da ili [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] nisu u relaciji ili [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath] nisu u relaciji, nemaš šta dalje da ispituješ za taj slučaj – implikacija je sigurno tačna, jer je tačna uvek kada pretpostavka nije tačna ([inlmath]\bot\;\Longrightarrow\top[/inlmath] i [inlmath]\bot\;\Longrightarrow\bot[/inlmath] su tačne implikacije).

wolf11 je napisao:ili ima neki laksi nacin da se to dokaze?

Možeš posmatrati tri slučaja – [inlmath]b\ge1[/inlmath], [inlmath]b=0[/inlmath] i [inlmath]b\le-1[/inlmath].

Za [inlmath]b\ge1[/inlmath] implikacija [inlmath]2ab\ge a+b\;\land\;2bc\ge b+c\;\Longrightarrow\;2ac\ge a+c[/inlmath] svodi se na
[dispmath]2ab-a\ge b\;\land\;2bc-c\ge b\;\Longrightarrow\;2ac\ge a+c\\
a(2b-1)\ge b\;\land\;c(2b-1)\ge b\;\Longrightarrow\;2ac\ge a+c[/dispmath] pa pošto je [inlmath]b[/inlmath] pozitivno biće i [inlmath]2b-1[/inlmath] pozitivno, pa nejednakosti smemo deliti tim izrazom bez promene smera znaka nejednakosti:
[dispmath]a\ge\frac{b}{2b-1}\;\land\;c\ge\frac{b}{2b-1}\;\Longrightarrow\;2ac\ge a+c[/dispmath] Za [inlmath]b\ge1[/inlmath] razlomak [inlmath]\frac{b}{2b-1}[/inlmath] biće u intervalu [inlmath]\Bigl(\frac{1}{2},1\Bigr][/inlmath], iz čega sledi
[dispmath]a\ge1\;\land\;c\ge1\;\Longrightarrow\;2ac\ge a+c[/dispmath] Ovu implikaciju nije teško dokazati, jer se desna strana može napisati kao [inlmath]a(2c-1)\ge c[/inlmath], a pošto je [inlmath]c\ge1[/inlmath] tada će [inlmath]2c-1[/inlmath] biti pozitivno pa njime delimo nejednakost bez promene smera znaka nejednakosti, tj. [inlmath]a\ge\frac{c}{2c-1}[/inlmath], a pošto je [inlmath]\frac{c}{2c-1}\le1[/inlmath] a [inlmath]a\ge1[/inlmath], nejednakost (a samim tim i implikacija) time je dokazana.

Za [inlmath]b=0[/inlmath] iskaz [inlmath]a\rho b\;\land\;b\rho c\;\Longrightarrow\;a\rho c[/inlmath] svodi se na [inlmath]0\ge a\;\land\;0\ge c\;\Longrightarrow\;2ac\ge a+c[/inlmath], što je prilično očigledno da je tačan iskaz (ako ni [inlmath]a[/inlmath] ni [inlmath]c[/inlmath] nisu pozitivni, tada je [inlmath]2ac\ge0[/inlmath], dok mora biti [inlmath]a+c\le0[/inlmath], tako da mora važiti [inlmath]2ac\ge a+c[/inlmath]).

Prepuštam tebi da odradiš za slučaj [inlmath]b\le-1[/inlmath].

Prije svega hvala na detaljnom objasnjenju.

Ako sam ja razumio treci slucaj kad je [inlmath]b\leq-1[/inlmath] ce biti
[dispmath]2ab\geq a+b\;\land\;2bc\geq b+c\;\Longrightarrow\;2ac\geq a+c[/dispmath] onda ako prebacimo [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] sa desne na lijevu stranu dobijamo
[dispmath]a\left(2b-1\right)\geq b\;\land\;c\left(2b-1\right)\geq b\;\Longrightarrow\;2ac\geq a+c[/dispmath] sad kako je [inlmath]b\leq-1[/inlmath] onda je [inlmath]2b-1[/inlmath] uvijek negativno pa se mijenja smijer nejednakosti prilikom dijeljenja i dobijamo
[dispmath]a\leq\frac{b}{2b-1}\;\land\;c\leq\frac{b}{2b-1}\;\Longrightarrow\;2ac\geq a+c[/dispmath] kako se [inlmath]\frac{b}{2b-1}[/inlmath] nalazi u intervalu [inlmath]\Bigl[\frac{1}{3},\frac{2}{5}\Bigr][/inlmath] iz toga slijedi da je [inlmath]a\leq0[/inlmath] i [inlmath]c\leq0[/inlmath], odatle vidimo da ce implikacija [inlmath]2ac\geq a+c[/inlmath] da bude tacna jer je lijeva strana uvijek veca ili jednaka [inlmath]0[/inlmath], a desna strana je uvijek manja ili jedna [inlmath]0[/inlmath].

Sad kako je data relacija relacija ekvivalencije i ako trebam odrediti sve klase ekvivalencije tad su one:
[dispmath]C_{-2}=\left\{x\mid-2\rho x,\;x\in S\right\}=\left\{-2,-1,0\right\}\\
C_{-1}=\left\{x\mid-1\rho x,\;x\in S\right\}=\left\{-2,-1,0\right\}\\
C_0=\left\{x\mid0\rho x,\;x\in S\right\}=\left\{-2,-1,0\right\}\\
C_1=\left\{x\mid1\rho x,\;x\in S\right\}=\left\{1,2,3\right\}\\
C_2=\left\{x\mid2\rho x,\;x\in S\right\}=\left\{1,2,3\right\}\\
C_3=\left\{x\mid3\rho x,\;x\in S\right\}=\left\{1,2,3\right\}[/dispmath]

Upravo tako, znači imamo dve klase ekvivalencije, jedna je [inlmath]C_{-2}=C_{-1}=C_0[/inlmath], a druga je [inlmath]C_1=C_2=C_3[/inlmath].

Sad kad si napisao ovaj postupak, vidim da se i slučaj [inlmath]b=0[/inlmath] mogao objediniti sa slučajem [inlmath]b\le-1[/inlmath] tako da se zajedno analiziraju kao slučaj [inlmath]b\le0[/inlmath]. U oba slučaja je [inlmath]2b-1[/inlmath] negativno, dok bi [inlmath]\frac{b}{2b-1}[/inlmath] pri objedinjavanju slučajeva uzeo vrednosti iz skupa [inlmath]\left\{0,\frac{1}{3},\frac{2}{5}\right\}[/inlmath], pa bi odatle opet sledilo [inlmath]a\le0[/inlmath] i [inlmath]c\le0[/inlmath].

Dakle, dovoljno je razmatrati samo slučajeve [inlmath]b\ge1[/inlmath] i [inlmath]b\le0[/inlmath].