MATEMANIJA

Pozdrav svima. Nadam se da je tema ubacena na pravo mjesto. Problem imam oko sledeceg zadatka. Dat je skup [inlmath]\{\frac{3n-4m+1}{7n+2m+3}\mid m,n\in\mathbb{N}\}[/inlmath]. Treba se odrediti supremum i infimum skupa tj gornja i donja medja. Nakon malo sredjivanja brojioca dobijam sledeci izraz [inlmath]\frac{3}{7}-\frac{1}{7}\cdot\frac{34m+2}{7n+2m+3}[/inlmath]. Iz ovoga je ocigledno da je supremum [inlmath]\frac{3}{7}[/inlmath]. Na internetu sam vidjela da se ovo moze uraditi koriscenjem limesa ali ne radimo na taj nacin. Imali smo slican zadatak kao ovaj sa parametrima [inlmath]n,m[/inlmath] ali bez slobodnog clana. U tim slucajevima smo pretpostavljali da sto se vise ovo [inlmath]n[/inlmath] u imeniocu bude smanjivalo to ce razlomak biti veci i tada gledajuci da je [inlmath]n[/inlmath] blizu [inlmath]0[/inlmath] zanemarivali smo ga i mogli skratiti ove parametre [inlmath]m[/inlmath] u brojiocu i imeniocu. U ovom zadatku pretpostavljam da se isto nekako radi samo mi smetaju slobodni clanovi zbog kojih ne mogu skratiti parametre. Uglavnom treba mi pomoc kako bih odredila infimum ovoga skupa koristeci ovu logiku. Hvala unaprijed svima

Rijesenoo

Samo kad dokazujem drugo svojstvo supremuma dobijam kad se sredi: [inlmath]\varepsilon>\frac{1}{7}\cdot\frac{34m+2}{7n+2m+3}[/inlmath]. Sad me samo zanima jedna stvar koji od parametara [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath] uzimam da je jednak jedinici prilikom dokazivanja ovog supremuma i od cega to zavisi. Izvinite sto ispadose tri odvojena posta jedan za drugim.

desa9 je napisao:Imali smo slican zadatak kao ovaj sa parametrima [inlmath]n,m[/inlmath] ali bez slobodnog clana. U tim slucajevima smo pretpostavljali da sto se vise ovo [inlmath]n[/inlmath] u imeniocu bude smanjivalo to ce razlomak biti veci i tada gledajuci da je [inlmath]n[/inlmath] blizu [inlmath]0[/inlmath] zanemarivali smo ga

Ne znam kako je tačno glasio taj zadatak o kojem govoriš, ali u ovom zadatku je [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] i samim tim ne može se približavati nuli, već kao minimalnu vrednost može imati jedinicu. Prema tome, izraz [inlmath]\frac{3}{7}-\frac{1}{7}\cdot\frac{34m+2}{7n+2m+3}[/inlmath] će pri nekoj fiksnoj vrednosti [inlmath]m[/inlmath] imati minimalnu vrednost onda kada je [inlmath]n=1[/inlmath]. Dakle, uvrštavanjem [inlmath]n=1[/inlmath] u taj izraz, posmatramo kako će se izraz menjati s promenom [inlmath]m[/inlmath], a na osnovu toga se može odrediti infimum.

A lakši način je, slično kao što si transformisala izraz da se [inlmath]n[/inlmath] nalazi samo u imeniocu, da taj izraz transformišeš tako da se sada [inlmath]m[/inlmath] nalazi samo u imeniocu. Dobiće se [inlmath]-2+\frac{17n+7}{7n+2m+3}[/inlmath], a odatle je prilično očigledno koliki je infimum.

desa9 je napisao:Samo kad dokazujem drugo svojstvo supremuma dobijam kad se sredi: [inlmath]\varepsilon>\frac{1}{7}\cdot\frac{34m+2}{7n+2m+3}[/inlmath]. Sad me samo zanima jedna stvar koji od parametara [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath] uzimam da je jednak jedinici prilikom dokazivanja ovog supremuma i od cega to zavisi.

Za bilo koje [inlmath]m[/inlmath] moguće je odrediti takvo [inlmath]n[/inlmath] da posmatrani izraz bude manji od nekog unapred zadatog malog broja [inlmath]\varepsilon[/inlmath].