MATEMANIJA

Zadatak: Neka su [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] konačni skupovi za koje važi
[dispmath]|A\Delta C|+|B\Delta C|=|A\Delta B|[/dispmath] Dokazati da tada važi
[dispmath]A\cap B\subseteq C\subseteq A\cup B[/dispmath] (Za skupove [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]Y[/inlmath] označili smo [inlmath]X\Delta Y=(X\setminus Y)\cup(Y\setminus X)[/inlmath] što se naziva simetrična razlika skupova [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]Y[/inlmath].)

Rešenje: Označimo sa [inlmath]p,q,r,s,t,u,v[/inlmath] kardinalnosti određenih delova Venovog dijagrama kao na slici:


Tada imamo [inlmath]|A\Delta C|=p+q+u+v[/inlmath], [inlmath]|B\Delta C|=q+r+s+v[/inlmath], [inlmath]|A\Delta B|=p+s+r+u[/inlmath]. Dakle, jednakost iz postavke prevodi se na
[dispmath]p+2q+r+s+u+2v=p+s+r+u,[/dispmath] što se svodi na [inlmath]2q+2v=0[/inlmath], a odavde dobijamo [inlmath]q=v=0[/inlmath]. No, [inlmath]q=0[/inlmath] daje upravo [inlmath]A\cap B\subseteq C[/inlmath], a [inlmath]v=0[/inlmath] daje [inlmath]C\subseteq A\cup B[/inlmath], što je upravo i trebalo dokazati.

Konkretno, nije mi jasna poslednja rečenica rešenja, dok mi je ostatak rešenja jasan.
Napomena: Zadatak sa opštinskog takmičenja 12.12.2015. godine, 1A razreda.

ognjentesic je napisao:No, [inlmath]q=0[/inlmath] daje upravo [inlmath]A\cap B\subseteq C[/inlmath],

Kako smo sa [inlmath]q[/inlmath] označili kardinalnost skupa [inlmath](A\cap B)\setminus C[/inlmath], a pokazalo se da je kardinalnost tog skupa nula, tj. da taj skup ne sadrži elemente, to znači da ne postoji nijedan element koji pripada skupu [inlmath]A\cap B[/inlmath] a ne pripada skupu [inlmath]C[/inlmath]. To, opet, znači da svaki element koji pripada skupu [inlmath]A\cap B[/inlmath] mora pripadati i skupu [inlmath]C[/inlmath], a odatle, imajući u vidu definiciju podskupa, sledi da je [inlmath]A\cap B[/inlmath] podskup skupa [inlmath]C[/inlmath].

ognjentesic je napisao:a [inlmath]v=0[/inlmath] daje [inlmath]C\subseteq A\cup B[/inlmath], što je upravo i trebalo dokazati.

(Sad ide copy/paste gornje rečenice, s izmenjenim oznakama)
Kako smo sa [inlmath]v[/inlmath] označili kardinalnost skupa [inlmath]C\setminus(A\cup B)[/inlmath], a pokazalo se da je kardinalnost tog skupa nula, tj. da taj skup ne sadrži elemente, to znači da ne postoji nijedan element koji pripada skupu [inlmath]C[/inlmath] a ne pripada skupu [inlmath]A\cup B[/inlmath]. To, opet, znači da svaki element koji pripada skupu [inlmath]C[/inlmath] mora pripadati i skupu [inlmath]A\cup B[/inlmath], a odatle, imajući u vidu definiciju podskupa, sledi da je [inlmath]C[/inlmath] podskup skupa [inlmath]A\cup B[/inlmath].

Shvatio sam, hvala.