MATEMANIJA

Prijemni ispit ETF – 24. jun 2019.
16. zadatak

Dat je skup [inlmath]\displaystyle S=\left\{\left(\frac{-1+i\sqrt3}{2}\right)^{2019},\text{Im}\left(\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^{2019}\right),0.3333333,\frac{\pi}{3},\sin\frac{\pi}{3},\frac{22}{7}\right\}[/inlmath] i skup racionalnih brojeva [inlmath]\displaystyle\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}\Bigm|p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{N}\right\}[/inlmath], [inlmath]i^2=-1[/inlmath]. Broj elemenata skupa [inlmath]S\cap\mathbb{Q}[/inlmath] jeste:

Resenje [inlmath]\enclose{circle}{3}[/inlmath]


Nigde nisam nasao ovo uradjeno, mislim trebalo bi da je prelako ali me buni dosta pa neko iskusniji bi mogao da mi razjasni, krenucu redom.

Dizanjem prve zagrade na treci stepen lako dobijam [inlmath]1^{673}=1[/inlmath] i jedinica pripada skupu racionalnih brojeva.

Imaginarnni deo u drugoj zagradi bi trebao da bude [inlmath]2^{1008}\sqrt2[/inlmath] i sad ide prva zabuna, da li racionalan broj pomnozen iracionalnim za proizvod daje iracionalan broj, iskreno po osecaju sam rekao da ce proizvod biti iracionalan tako da drugi clan nisam uzeo kao resenje, ali neka neko ospori ili potvrdi moju tvrdnju, znacice mi.

Treci clan je sam napisao u obliku [inlmath]\frac{3333333}{10000000}[/inlmath] sto jeste racionalan broj.


Ponovo ide jedna prepreka a to da li je [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath] racionalan, posto sam siguran da je broj [inlmath]\pi[/inlmath] iracionalan onda sam napisao da ce iracionalan broj podeljen sa racionalnim dati za kolicnik iracionalan broj, ponnovo neka neko potvrdi ili ospori ovu tvrdnju.


Vrednost [inlmath]\sin\frac{\pi}{3}[/inlmath] jeste [inlmath]\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] sto sam sluzeci se tvrdnjom iz prethodnog clana zakljucio da ce biti iracionalan broj.

I sada poslastica a to je [inlmath]\frac{22}{7}[/inlmath], e sada koliko sam ucen broj [inlmath]\pi[/inlmath] jeste razlomak [inlmath]\frac{22}{7}[/inlmath], zanima me da li je to priblizna vrednost ili je broj [inlmath]\pi[/inlmath] stvarno [inlmath]\frac{22}{7}[/inlmath] jer me to buni i ne znam da li on spada u racionalne ili iracionalne brojeve.

Znam da je ovo zadatak za 5. razred ali ko pita ne skita.

Dobro si pretpostavio. Proizvod racionalnog i iracionalnog broja je uvek iracionalan. Mi kada kažemo da je "[inlmath]\pi=3,14[/inlmath]", mi zapravo uzimamo približnu vrednost broja [inlmath]\pi[/inlmath]. U zavisnosti od toga kolika preciznost nam je potrebna, uzimaćemo veći ili manji broj decimalnih mesta. Slično možemo i da razmišljamo kada analiziramo i [inlmath]\sqrt2[/inlmath], [inlmath]\sqrt[3]2[/inlmath], [inlmath]e[/inlmath] i slično. Koliko god decimalnih mesta da uzmemo u račun, nikada nećemo uzeti tačnu vrednost tog broja.

Razlomak [inlmath]\frac{22}{7}[/inlmath] zaista jeste približno jednak broju [inlmath]\pi[/inlmath], čak i do preciznosti koja je najčešće potrebna u svakodnevnom životu. Ali, nije jednak broju [inlmath]\pi[/inlmath]. Kao što [inlmath]\pi[/inlmath] nije jednako ni [inlmath]3,14[/inlmath] ni [inlmath]3,142[/inlmath] ni [inlmath]3,14159[/inlmath].

Mislim da je ovde glavna stvar razgraničenje kada je nešto jednako, a kada je približno jednako.

Emotivac je napisao:Imaginarnni deo u drugoj zagradi bi trebao da bude [inlmath]2^{1008}\sqrt2[/inlmath]

Nije, nego je [inlmath]\frac{1}{\sqrt2}[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] (verovatno si prevideo [inlmath]\sqrt2[/inlmath] u imeniocu). Ali to ne menja ništa u odgovoru, svakako jeste iracionalan.

Emotivac je napisao:posto sam siguran da je broj [inlmath]\pi[/inlmath] iracionalan

Emotivac je napisao:e sada koliko sam ucen broj [inlmath]\pi[/inlmath] jeste razlomak [inlmath]\frac{22}{7}[/inlmath], zanima me da li je to priblizna vrednost ili je broj [inlmath]\pi[/inlmath] stvarno [inlmath]\frac{22}{7}[/inlmath] jer me to buni i ne znam da li on spada u racionalne ili iracionalne brojeve.

Nije valjda da te ovaj razlomak [inlmath]\frac{22}{7}[/inlmath] tako brzo pokolebao u tvojoj (sasvim ispravnoj) tvrdnji da je [inlmath]\pi[/inlmath] iracionalan?

Danas se matematičari, a i programeri, utrkuju u tome ko će pre izračunati nove i nove decimale broja [inlmath]\pi[/inlmath]. Znam da su pre desetak godina stigli do neke desetbilionite decimale ([inlmath]10^{13}[/inlmath] decimala). Danas je možda broj poznatih decimala još veći.
Postoje i deeebele knjižurine koje od korica do korica imaju ispisane dosad poznate decimale broja [inlmath]\pi[/inlmath].
Ničega od toga ne bi bilo da je [inlmath]\pi[/inlmath] racionalan broj.

Ima i onaj vic – Chuck Norris zna sve decimale broja [inlmath]\pi[/inlmath].

Znam da su ovo neke osnovne stvari, ali ono sto nisam siguran ne zelim da pretpostavljam pa mi uvek znaci kad neko potvrdi, hvala