MATEMANIJA

Pozdrav svima!

Ponizno trazim za pomoc. Pise vam matorka koji se vratila u skolu nakon mnogo godina. I bojim se da sam pravo ispala iz stosa. Svaka i mala pomoc je dobrodosla.

Mnogo hvala!


1. Kako mogu pokazati da: (vidjela sam mnogo slicnih primjera, ali nisam u stanju docu do zavrsne linije koja pokazuje jednakost)
[dispmath]A=B\iff A\cup B=A\cap B[/dispmath]
2. Zadatak glasi:
Koji od sljedecih podskupova od [inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath] definiraju [inlmath]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/inlmath] i zasto?

ps. Ako nije problem, sto bi trebalo predstavljati "kvadrat od skupa realnih brojeva"?

1. [inlmath]\Gamma_1=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x=1\right\}[/inlmath]
2. [inlmath]\Gamma_2=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=1\right\}[/inlmath]
3. [inlmath]\Gamma_3=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2=y\right\}[/inlmath]
4. [inlmath]\Gamma_4=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x=y^2\right\}[/inlmath]
5. [inlmath]\Gamma_5=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid xy=1\right\}[/inlmath]
6. [inlmath]\Gamma_6=\Gamma_5\cup\{(0,0)\}[/inlmath]


3. (proizvoljni zadatak)

nadite 2 skupa [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]Y[/inlmath] tako da vrijedi preduvijet
[dispmath]X\cup\{3,4,5\}=\{1,3,4,5,6,8,9\}[/dispmath]

1. zadatak
Smer sleva nadesno dokazuje se trivijalno – pošto je [inlmath]A=B[/inlmath], na desnoj strani se uvrsti [inlmath]A[/inlmath] umesto [inlmath]B[/inlmath] (ili [inlmath]B[/inlmath] umesto [inlmath]A[/inlmath], svejedno).
Smer zdesna nalevo dokazuje se tako što se posmatra neko [inlmath]x\in A[/inlmath]. Samim tim sledi i [inlmath]x\in A\cup B[/inlmath]. Pošto važi uslov [inlmath]A\cup B=A\cap B[/inlmath], sledi [inlmath]x\in A\cap B[/inlmath], a odatle i [inlmath]x\in B[/inlmath]. Time je pokazano da iz [inlmath]x\in A[/inlmath] sledi [inlmath]x\in B[/inlmath], tj. da je [inlmath]A\subseteq B[/inlmath]. Sasvim analogno se dokazuje i [inlmath]B\subseteq A[/inlmath], a iz [inlmath]A\subseteq B[/inlmath] i [inlmath]B\subseteq A[/inlmath] sledi [inlmath]A=B[/inlmath].

---

2. zadatak
[inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath] predstavlja Dekartov proizvod skupa realnih brojeva sa samim sobom, može se još pisati i kao [inlmath]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/inlmath]. To, zapravo, predstavlja skup svih uređenih parova [inlmath](x,y)[/inlmath], takvih da [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] i [inlmath]y\in\mathbb{R}[/inlmath].
Dekartov proizvod je detaljnije objašnjen na ovom linku.

---

3. zadatak
Skup [inlmath]Y[/inlmath] može biti bilo koji (budući da ne figuriše u datoj skupovnoj jednačini).
Skup [inlmath]X[/inlmath] treba da predstavlja „dopunu“ skupa [inlmath]\{3,4,5\}[/inlmath] do skupa [inlmath]\{1,3,4,5,6,8,9\}[/inlmath], tj. obavezno mora sadržati sve one elemente koje sadrži skup [inlmath]\{1,3,4,5,6,8,9\}[/inlmath] a ne sadrži skup [inlmath]\{3,4,5\}[/inlmath], pri čemu može (ali ne mora) sadržati i elemente skupa [inlmath]\{3,4,5\}[/inlmath].

---

Ukoliko je potrebno dodatno pojasniti neki od ovih zadataka, onda molim svaki zadatak u novu, zasebnu temu, onako kako je predviđeno tačkom 10. Pravilnika.
Takođe, na ovom forumu je obavezna upotreba Latexa (tačka 13. Pravilnika).
I jedno i drugo je bitno radi preglednosti.

Hvala na odgovoru i isprike zbog krsenja pravilnika!