MATEMANIJA

Pozdrav svima. Nova sam na forumu, a potrebna mi je pomoc oko zadatka iz teorije skupova. Zadatak glasi:
Na skupu [inlmath]\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/inlmath] definisane su relacije [inlmath]\rho[/inlmath] i [inlmath]\sigma[/inlmath] sa
[dispmath](x_1,y_1)\rho(x_2,y_2)\iff x_1<x_2\;\lor\;(x_1=x_2\;\land\;y_1<y_2)[/dispmath] i
[dispmath](x_1,y_1)\sigma(x_2,y_2)\iff x_1\le x_2\;\land\;y_1\le y_2[/dispmath] Dokazati da su [inlmath]\rho[/inlmath] i [inlmath]\sigma[/inlmath] relacije uredjenja, pri cemu je uredjenje [inlmath]\rho[/inlmath] linearno (totalno), a [inlmath]\sigma[/inlmath] to nije. Odrediti supremum i infimum skupa [inlmath]A=[0,1)\times[0,1)[/inlmath] ako postoje u odnosu na relacije [inlmath]\rho[/inlmath] i [inlmath]\sigma[/inlmath].
E sad, znam da je portrebno provjeriti da su relacije refleksivne, antisimetricne i tranzitivne, ali vec kod refleksivnosti nailazim na problem. Takodje, bune me i supremum i infimum u ovom zadatku. Bila bih zahvalna kad bi neko napisao rjesenje i pojasnio. Hvala unaprijed. Prvi put pisem u Latexu pa vidim da nesto nije u redu, ali ne znam popraviti.

Ovako data relacija [inlmath]\rho[/inlmath] nije refleksivna, jer ne može nikad biti [inlmath](x,y)\rho(x,y)[/inlmath] (na primer, [inlmath](1,5)\bcancel\rho(1,5)[/inlmath] jer ne važi [inlmath]1<1[/inlmath], ali ni [inlmath]5<5[/inlmath]). Da li si možda želela da napišeš [inlmath]\le[/inlmath] umesto [inlmath]<[/inlmath]?

Dokazivanje osobina ide onako kako si to i do sada radila. Evo kako se dokazuje refleksivnost za [inlmath]\sigma[/inlmath]:
Neka je [inlmath](x,y)[/inlmath] proizvoljan element iz [inlmath]\mathbb R^2[/inlmath]. Kako trivijalno važi [inlmath]x\le x[/inlmath] i [inlmath]y\le y[/inlmath], onda važi i [inlmath](x\le x)\land(y\le y)[/inlmath] a to upravo znači da je [inlmath](x,y)\sigma(x,y)[/inlmath].
Antisimetričnost je isto laka: neka je [inlmath](x_1,y_1)\sigma(x_2,y_2)[/inlmath] i neka je i [inlmath](x_2,y_2)\sigma(x_1,y_1)[/inlmath]. Tada iz prvog uslova po definiciji sledi da je [inlmath]x_1\le x_2[/inlmath] i [inlmath]y_1\le y_2[/inlmath], a i iz drugog uslova sledi da je [inlmath]x_2\le x_1[/inlmath] i [inlmath]y_2\le y_1[/inlmath]. Zaključujemo da je [inlmath]x_1=x_2[/inlmath] i [inlmath]y_1=y_2[/inlmath], odnosno [inlmath](x_1,y_1)=(x_2,y_2)[/inlmath].

Ti probaj da dokažeš ostale osobine (tj tranzitivnost za [inlmath]\sigma[/inlmath], i odgovarajuće osobine za [inlmath]\rho[/inlmath]). Pogledaj i ostale zadatke o relacijama na forumu, pošto se svi rešavaju na isti način.

Hvala Vam puno. Ovo mi je sve jasno. Vjerovatno je greska u postavci zadatka jer sam doslovno prepisala. To me najvise i zbunjivalo. Ovo sada mogu da uradim.