MATEMANIJA

Može li mi neko objasnit ovo?
ThQ

Exercises 1

1. What well-known set is this:
[dispmath]\left\{n\in\mathbb{N}\:\left|\:\left(n>1\right)\land\left(\forall x,y\in\mathbb{N}\right)\left[\left(xy=n\right)\Rightarrow\left(x=1\lor y=1\right)\right]\right.\right\}[/dispmath]
2. Let
[dispmath]P=\left\{x\in\mathbb{R}\:\left|\:\sin\left(x\right)=0\right.\right\},\quad Q=\left\{n\pi\:\left|\:n\in\mathbb{Z}\right.\right\}[/dispmath]
What is the relationship between [inlmath]P[/inlmath] and [inlmath]Q[/inlmath]?

3. Let
[dispmath]A=\left\{x\in\mathbb{R}\:\left|\:\left(x>0\right)\land\left(x^2=3\right)\right.\right\}[/dispmath]
Give a simpler definition of the set [inlmath]A[/inlmath].

4. Prove that for any set [inlmath]A[/inlmath]:
[dispmath]\emptyset\subseteq A\quad\mbox{and}\quad A\subseteq A[/dispmath]
5. Prove that if [inlmath]A\subseteq B[/inlmath] and [inlmath]B\subseteq C[/inlmath], then [inlmath]A\subseteq C[/inlmath]

blake je napisao:1. What well-known set is this:
[dispmath]\left\{n\in\mathbb{N}\:\left|\:\left(n>1\right)\land\left(\forall x,y\in\mathbb{N}\right)\left[\left(xy=n\right)\Rightarrow\left(x=1\lor y=1\right)\right]\right.\right\}[/dispmath]

Ovo znači: skup svih prirodnih brojeva većih od [inlmath]1[/inlmath] za koje važi da, ako se napišu kao proizvod dva prirodna broja, jedan od ta dva prirodna broja mora biti jednak [inlmath]1[/inlmath]. Šta to znači? Da ti prirodni brojevi, koji pripadaju zadatom skupu, ne mogu imati kao faktore dva prirodna broja oba različita od jedinice. A to je upravo definicija prostih brojeva. Prema tome, skup koji je na ovaj način predstavljen, jeste skup prostih brojeva.

Vrlo slično se tumače i [inlmath]2.[/inlmath] i [inlmath]3.[/inlmath], pa ako neko želi da pokuša njih da uradi...

blake je napisao:4. Prove that for any set [inlmath]A[/inlmath]:
[dispmath]\emptyset\subseteq A\quad\mbox{and}\quad A\subseteq A[/dispmath]

Po definiciji,
[dispmath]A\subseteq B\mathop\Longleftrightarrow^\mathrm{def}\left(\forall x\right)\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right)[/dispmath]
pa, prema tome, gornju iskaznu formulu možemo pisati kao:
[dispmath]\left(\forall x\right)\left(x\in\emptyset\Rightarrow x\in A\right)\quad\land\quad\left(\forall x\right)\left(x\in A\Rightarrow x\in A\right)[/dispmath]
Iskaz [inlmath]x\in\emptyset[/inlmath] je uvek netačan, jer nijedan element ne može pripadati praznom skupu;

Iskazna formula [inlmath]x\in A\Rightarrow x\in A[/inlmath] je uvek tačna, tj. predstavlja tautologiju, jer je oblika [inlmath]p\Rightarrow p[/inlmath], što je uvek tačno: iz iskaza [inlmath]p[/inlmath] implicira iskaz [inlmath]p[/inlmath], što je očigledno tačno; možemo to posmatrati i ovako: bez obzira na istinitosnu vrednost iskaza [inlmath]p[/inlmath], iskaz [inlmath]p\Rightarrow p[/inlmath] je uvek tačan, jer ako je [inlmath]p[/inlmath] tačno, imamo [inlmath]\top\Rightarrow\top[/inlmath] a to je tačno, a takođe, ako je [inlmath]p[/inlmath] netačno, imamo [inlmath]\bot\Rightarrow\bot[/inlmath] a i to je tačno.

Prema tome, data iskazna formula se dalje svodi na:
[dispmath]\left(\bot\Rightarrow x\in A\right)\quad\land\quad\top[/dispmath]
[inlmath]\bot\Rightarrow p[/inlmath] je uvek tačno, bez obzira na to da li je [inlmath]p[/inlmath] tačno ili netačno, jer je [inlmath]\bot\Rightarrow\top[/inlmath] tačno, a takođe i [inlmath]\bot\Rightarrow\bot[/inlmath] je tačno. Prema tome,
[dispmath]\top\quad\land\quad\top[/dispmath]
[dispmath]\top[/dispmath]
čime je dokazano da je zadata iskazna formula tačna.

Slično se radi i [inlmath]5.[/inlmath] tako da i njega prepuštam nekom drugom.

blake je napisao:2. Let
[dispmath]P=\left\{x\in\mathbb{R}\:\left|\:\sin\left(x\right)=0\right.\right\},\quad Q=\left\{n\pi\:\left|\:n\in\mathbb{Z}\right.\right\}[/dispmath]
What is the relationship between [inlmath]P[/inlmath] and [inlmath]Q[/inlmath]?

Skup [inlmath]P[/inlmath] sačinjavaju svi realni brojevi takvi da je njihov sinus jednak nuli, tj. sva rešenja jednačine [inlmath]\sin(x)=0[/inlmath]. Rešenja su, naravno, [inlmath]0+\pi k\quad k\in\mathbb{Z}[/inlmath]
Skup [inlmath]Q[/inlmath] sačinjavaju proizvodi broja [inlmath]\pi[/inlmath] sa celim brojevima. Taj skup izgleda ovako [inlmath]\{\dots -2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi,3\pi\dots\}[/inlmath] (trebaće mi dosta vremena da napišem sve )
Kao što se odmah vidi, ova dva skupa su jednaka.
BTW: Notacija je čudna, zar ne bi trebalo da je [inlmath]Q=\{\;n\in\mathbb{Z}\;|\;n\pi\}[/inlmath] ?

blake je napisao:3. Let
[dispmath]A=\left\{x\in\mathbb{R}\:\left|\:\left(x>0\right)\land\left(x^2=3\right)\right.\right\}[/dispmath]
Give a simpler definition of the set [inlmath]A[/inlmath].

Skup [inlmath]A[/inlmath] sačinjavaju svi pozitivni realni brojevi ([inlmath]x>0[/inlmath]) koji, kad se podignu na kvadrat, daju tri ([inlmath]x^2=3[/inlmath]). Traži se jednostavnija definicija skupa. Najjednostavnije je samo da se napiše [inlmath]A=\left\{\sqrt{3}\right\}[/inlmath]

ubavic je napisao:BTW: Notacija je čudna, zar ne bi trebalo da je [inlmath]Q=\{\;n\in\mathbb{Z}\;|\;n\pi\}[/inlmath] ?

Ne, jer posle [inlmath]|[/inlmath] (vertikalne crte) treba da bude navedena osobina. [inlmath]n\pi[/inlmath] nije nikakva osobina, već neka brojna vrednost, pa takva notacija ne bi imala smisao. Evo, to bismo onda pročitali ovako: skup svih celih brojeva [inlmath]n[/inlmath] takvih da je [inlmath]n\pi[/inlmath]. Naravno, to ne bi značilo ništa.

S druge strane, notacija [inlmath]Q=\left\{n\pi\;|\;n\in\mathbb{Z}\right\}[/inlmath] sasvim je logična. Skup svih brojnih vrednosti [inlmath]n\pi[/inlmath] takvih da je [inlmath]n[/inlmath] ceo broj. I to nam onda jasno govori da su elementi tog skupa svi celobrojni umnošci broja [inlmath]\pi[/inlmath].