MATEMANIJA

Zdravo,
U vezi postupka određivanja da li je relacija tranzitivna, imam par nedoumica. Prvo ću pokazati postupak (koji će se kasnije pokazati kao netačan u 90% slučajeva) koji sam koristio do sad;
Neka nam je skup [inlmath]A=\left\{1,2,3,4\right\}[/inlmath] i uzmimo da je njegova relacija npr [inlmath]\rho=\left\{\left(1,1\right),\left(1,2\right),\left(2,3\right),\left(1,3\right),\left(3,3\right)\right\}[/inlmath]

Prema mom načinu, možemo da odbacimo parove čiji su i jedan i drugi element isti. U ovom slučaju, možemo odbaciti [inlmath](1,1)[/inlmath] i [inlmath](3,3)[/inlmath] i sad, elementi koji nam ostaju za razmatranje su [inlmath]\left(1,2\right),\left(2,3\right),\left(1,3\right)[/inlmath].
Sad, gledamo redom svaki od navedenih parova pojedinačno (gledamo ih tako da se 2. element prvog para poklopi sa 1. elementom drugog para).
Uzmimo prvo par [inlmath]\left(1,2\right)[/inlmath]. Uočavamo da njemu odgovara par [inlmath]\left(2,3\right)[/inlmath]. Prema tome;
[inlmath]\left(1,2\right)\in\rho[/inlmath] i [inlmath]\left(2,3\right)\in\rho[/inlmath] tj. iz toga sledi da [inlmath]\left(1,3\right)\in\rho[/inlmath] ([inlmath](1,3)[/inlmath] sam dobio tako što sam gledao prvi element prvog para i 2. element drugog para) i vidimo da je relacija već sada tranzitivna (koliko sam shvatio, bitno je da je samo jedan ovakav iskaz tačan i da je onda relacija tranzitivna).
Ako uzmemo parove [inlmath]\left(2,3\right)[/inlmath] ili [inlmath]\left(1,3\right)[/inlmath] vidimo da za njih nema parova koji im odgovaraju kao iznad. Sve u svemu, relacija je tranzitivna.

E sad, kao što sam gore naveo, moj postupak se nikako nije ispostavio tačnim (ne kontam zbog čega) kod sledeća 2 primera:
Npr neka je [inlmath]A=\left\{1,2,3\right\}[/inlmath] i neka je njegova relacija [inlmath]\rho=\left\{\left(1,1\right),\left(2,2\right),\left(3,3\right)\right\}[/inlmath]
Kako je ova relacija tranzitivna, ako nemam različite elemente u članovima za razmatranje (po mom načinu, odbacio bih [inlmath]\left(1,1\right),\left(2,2\right),\left(3,3\right)[/inlmath] i ne bi mi ostalo ništa za razmatranje).

Drugi primer mi je bio još nelogičniji zbog čega relacija nije tranzitivna;
Skup [inlmath]A[/inlmath] nam je isti, a njegova relacija nek bude npr [inlmath]\rho=\left\{\left(1,2\right),\left(2,1\right),\left(1,1\right)\right\}[/inlmath]
Istim postupkom, odbacim par [inlmath](1,1)[/inlmath] i posmatram parove [inlmath](1,2)[/inlmath] i [inlmath](2,1)[/inlmath], tj. gledamo da li se [inlmath](1,1)[/inlmath] nalazi u skupu [inlmath]\rho[/inlmath] i vidimo da se zaista nalazi, ali relacija iz nekog razloga nije tranzitivna?? (ovo me još više zbunjuje jer je u sličnom primeru gore relacija bila tranzitivna).

Hvala unapred na objašnjenju.

Acim je napisao:[inlmath]\left(1,2\right)\in\rho[/inlmath] i [inlmath]\left(2,3\right)\in\rho[/inlmath] tj. iz toga sledi da [inlmath]\left(1,3\right)\in\rho[/inlmath] ([inlmath](1,3)[/inlmath] sam dobio tako što sam gledao prvi element prvog para i 2. element drugog para) i vidimo da je relacija već sada tranzitivna (koliko sam shvatio, bitno je da je samo jedan ovakav iskaz tačan i da je onda relacija tranzitivna).

Ovo u zagradi je netačno. Da bi relacija bila tranzitivna, mora za bilo koja tri uređena para važiti [inlmath]x\rho y\land y\rho z\;\Longrightarrow\;x\rho z[/inlmath] (definicija tranzitivnosti glasi [inlmath]({\color{red}\forall}x,y,z\in S)(x\rho y\;\land\;y\rho z\;\Longrightarrow\;x\rho z)[/inlmath], obrati pažnju na univerzalni kvantifikator [inlmath]\forall[/inlmath]).
Znači, da bi dokazao da je relacija tranzitivna, nije dovoljno da nađeš neka tri uređena para za koja to važi, već je neophodno da pokažeš da to važi za bilo koja tri uređena para. To jest, da ih sve ispitaš.
Sa druge strane, ako naiđeš na neka tri uređena para za koja ova osobina ne važi, time si pokazao da relacija nije tranzitivna (tj. našao si kontraprimer), i u tom slučaju dalje ispitivanje tranzitivnosti nije potrebno.

Acim je napisao:Npr neka je [inlmath]A=\left\{1,2,3\right\}[/inlmath] i neka je njegova relacija [inlmath]\rho=\left\{\left(1,1\right),\left(2,2\right),\left(3,3\right)\right\}[/inlmath]
Kako je ova relacija tranzitivna, ako nemam različite elemente u članovima za razmatranje (po mom načinu, odbacio bih [inlmath]\left(1,1\right),\left(2,2\right),\left(3,3\right)[/inlmath] i ne bi mi ostalo ništa za razmatranje).

Tačno, ne bi ti ostalo ništa za razmatranje, prema tome, ne postoji kontraprimer za tranzitivnost, što znači da relacija jeste tranzitivna.
Inače, postoje i ovde uređeni parovi koji zadovoljavaju uslov tranzitivnosti (štaviše, svi uređeni parovi ispunjavaju taj uslov, što i jeste uslov da bi relacija bila tranzitivna):
[dispmath]1\rho1\land1\rho1\;\Longrightarrow\;1\rho1\\
2\rho2\land2\rho2\;\Longrightarrow\;2\rho2\\
3\rho3\land3\rho3\;\Longrightarrow\;3\rho3[/dispmath]

Acim je napisao:Skup [inlmath]A[/inlmath] nam je isti, a njegova relacija nek bude npr [inlmath]\rho=\left\{\left(1,2\right),\left(2,1\right),\left(1,1\right)\right\}[/inlmath]
Istim postupkom, odbacim par [inlmath](1,1)[/inlmath] i posmatram parove [inlmath](1,2)[/inlmath] i [inlmath](2,1)[/inlmath], tj. gledamo da li se [inlmath](1,1)[/inlmath] nalazi u skupu [inlmath]\rho[/inlmath] i vidimo da se zaista nalazi, ali relacija iz nekog razloga nije tranzitivna?? (ovo me još više zbunjuje jer je u sličnom primeru gore relacija bila tranzitivna).

Ova relacija nije tranzitivna jer ne važi [inlmath]2\rho1\land1\rho2\;\Longrightarrow\;2\rho2[/inlmath], pošto relacija ne sadrži uređeni par [inlmath](2,2)[/inlmath]. Kada bi sadržala i taj par, bila bi tranzitivna. Uporedi ovu tvoju relaciju s ovom relacijom.

Sada shvatam, hvala puno.