MATEMANIJA

Zdravo,

Mozda je trivijalno pitanje ali sam trenutno zbunjen pa se nadam da cete mi pomoci.
Naime, relacija ekvivalencije je ako i samo ako je relacija refleksivna, simetricna i tranzitivna.

U primjeru:
skup [inlmath]A=\{1,2,3\}[/inlmath] gdje je relacija [inlmath]\rho=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}[/inlmath] vidimo da je relacija refleksivna, simetricna, tranzitivna i antisimetricna. Ono sto me zanima je da li je ta relacija relacija ekvivalencije (zbog onog akko je RST) ili ipak nije jer je i antisimetricna.

Nadam se da razumijete pitanje.

Jeste. Maltene sam isti primer radio skoro. E sad, zbog čega je to tako iako je antisimetrična, ne bih znao da objasnim, pa je najbolje da za to sačekaš nekog boljeg u tome (dobro će i meni doći objašnjenje za bolje razumevanje).

Hvala.
Mene zbunjuje jer sam smatrao da ako i samo ako uslov znaci da je samo tada i nikad vise, ali opet mozemo napraviti particiju koja zadovoljava navedenu relaciju sto znaci da bi trebala biti relacija ekvivalencije.
Nadam se da ce neko znati da objasni zasto je to tako.

Ova relacija je istovremeno i relacija ekvivalencije, i relacija poretka.
Relacija ekvivalencije je zbog toga što je refleksivna, simetrična i tranzitivna.
Relacija poretka je zbog toga što je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna.
To što je neka relacija relacija ekvivalencije ne znači da ne može biti i relacija poretka. Ili obratno. Jedno ne isključuje drugo.

E sad, ono ako i samo ako koje tebe buni.

• Iskaz „Relacija je relacija ekvivalencije ako je refleksivna, simetrična i tranzitivna“ znači da iz činjenice da je refleksivna, simetrična i tranzitivna sledi da je relacija ekvivalencije.
• Iskaz „Relacija je relacija ekvivalencije samo ako je refleksivna, simetrična i tranzitivna“ znači obrnut smer implikacije – da iz činjenice da je to relacija ekvivalencije, sledi da je ta relacija refleksivna, simetrična i tranzitivna.

Kad se sjedine prethodna dva iskaza, dobijamo ako i samo ako. To jest, iskaz da je neka relacija relacija ekvivalencije ekvivalentan je iskazu da je ta relacija refleksivna, simetrična i tranzitivna.

Primeti da nigde nemamo iskaz koji glasi „Relacija je relacija ekvivalencije ako je samo refleksivna, simetrična i tranzitivna“. Taj iskaz nije ni tačan. Jer, kad bi bio tačan, to bi značilo da relacija koja je antisimetrična ne može biti relacija ekvivalencije, a upravo ovaj tvoj primer pokazuje da može.

Znači, treba da napraviš razliku između „samo ako je“ i „ako je samo“. Mislim da je to ono što je tebe zbunilo.

Da je ova relacija i relacija ekvivalencije i relacija poretka možeš proveriti i na online analizatoru relacija, koji napravih upravo da bi olakšao ovakve nedoumice.

Hvala na detaljnom odgovoru.
Ocigledno je onda greska u knjizi algebre FTNa Novi Sad gdje pise ako i samo ako.

Ne, nije greška u knjizi.
Ja upravo sve vreme i objašnjavam zbog čega treba da stoji ako i samo ako.
Pročitaj još jednom moj prethodni post.
I, naravno, pitaj ako nešto treba dodatno pojasniti.