MATEMANIJA

Zdravo,
Zadatak glasi:
Neka je zadat skup [inlmath]A=\{1,2,3,4,5\}[/inlmath] i neka je njegova relacija [inlmath]\rho=\left\{\left(1,1\right),\left(2,2\right),\left(3,3\right),\left(4,4\right),\left(5,5\right),\left(1,2\right),\left(1,3\right),\left(1,4\right),\left(1,5\right),\left(2,4\right),\left(3,4\right),\left(3,5\right)\right\}[/inlmath].
Ispitati da li je ova relacija RAT i ako jeste, nacrtati Haseov dijagram i ispitati njegov minimum, maksimum, najveći i najmanji element.

Proverom utvrđujemo da relacija ispunjava uslove RAT-a. Poslednji zahtev bi znao. Samo sam taj deo u prethodnom postu i naglašavao, a dijagram sam prepisao bio da bih prvo taj deo shvatio, a sada i sam dijagram.
Ono što me buni kod ovog zadatka (i generalno kod prethodnog posta) je na koji način se crta sam Haseov dijagram?
Pre svega, na koji način se ređaju brojevi, u smislu koji idu uspravno, a koji sa strane? Konkretno, shvatio sam jedan deo kod tog dijagrama, a to je taj da treba izbrisati svaku tranzitivnost između elemenata, ali i kad to uradim, ne znam kako da poređam i da "finiširam" sam dijagram.
Evo moje početne slike:


Sa slike vidimo da tranzitivnost ima sledeće oblike:
[inlmath]\left(1,2\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(2,4\right)[/inlmath] tj. [inlmath]\left(1,4\right)[/inlmath], [inlmath]\left(1,3\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(3,4\right)[/inlmath] tj. [inlmath]\left(1,4\right)[/inlmath], [inlmath]\left(1,4\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(4,4\right)[/inlmath] tj. [inlmath](1,4)[/inlmath] ('oće me duplikati ) i slično za ostale:
[dispmath]\left(1,5\right),\left(2,4\right),\left(3,4\right),\left(3,5\right)[/dispmath] Sve navedene oblike sam precrtao na grafiku (crvena boja) i sad kako završni deo, tj koja je caka u ređanju elemenata?

Prvo da prokomentarišem tvoj dijagram.
Ispravno si precrtao [inlmath](1,4)[/inlmath] i [inlmath](1,5)[/inlmath], ali ne znam zašto si precrtao [inlmath](2,4)[/inlmath], [inlmath](3,4)[/inlmath] i [inlmath](3,5)[/inlmath].
Uostalom, ako bi zaista uklonio sve veze koje si precrtao, video bi da bi [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath] ostali da „vise u vazduhu“, što već pokazuje da nešto nije u redu (jer se oba ta elementa pojavljuju u uređenim parovima s nekim od ostalih elemenata, prema tome, ne treba da „vise u vazduhu“).

Što se tiče nekih pravila pri crtanju Haseovog dijagrama:

• Uklone se svi uređeni parovi koji predstavljaju uslov za refleksivnost, dakle, [inlmath]\{\xcancel{(1,1)},\xcancel{(2,2)},\xcancel{(3,3)},\xcancel{(4,4)},\xcancel{(5,5)},(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(3,4),(3,5)\}[/inlmath];
• Uklone se oni uređeni parovi koji slede iz ostalih uređenih parova na osnovu osobine tranzitivnosti, tj.:
  
  • Ukloni se [inlmath](1,4)[/inlmath] jer po osnovu tranzitivnosti sledi iz [inlmath](1,2)[/inlmath] i [inlmath](2,4)[/inlmath];
  • Ukloni se [inlmath](1,4)[/inlmath] jer po osnovu tranzitivnosti sledi iz [inlmath](1,3)[/inlmath] i [inlmath](3,4)[/inlmath] (mada je već i uklonjen);
  • Ukloni se [inlmath](1,5)[/inlmath] jer po osnovu tranzitivnosti sledi iz [inlmath](1,3)[/inlmath] i [inlmath](3,5)[/inlmath].
  Prema tome, skup uređenih parova smo redukovali na [inlmath]\{(1,2),(1,3),\xcancel{(1,4)},\xcancel{(1,5)},(2,4),(3,4),(3,5)\}[/inlmath].

Dakle, ostaje [inlmath]\{(1,2),(1,3),(2,4),(3,4),(3,5)\}[/inlmath]. Ovde su ostali samo oni uređeni parovi koje čine direktni prethodnik i direktni sledbenik, koji su na Haseovom dijagramu direktno povezani linijom. Pošto takvih uređenih parova imamo pet, vidimo i da ovaj Haseov dijagram mora imati pet linija.

Pošto si odredio minimume i najmanji element, njih postavljaš u donjem delu dijagrama. U prvom višem nivou postavljaš direktne sledbenike elemenata iz prethodnog nivoa. I tako dok ne dođeš do maksimuma i najvećeg elementa, koje postavljaš u gornjem (najvišem) nivou.

Prethodno napisano ne važi za one elemente s kojima nijedan drugi element nije u relaciji i koji ni s jednim drugim elementom nije u relaciji (kakvih u ovom zadatku i nema) – takve elemente u dijagram ucrtavaš na samom kraju, negde sa strane – e oni „vise u vazduhu“, tj. nisu povezani linijom ni s jednim drugim elementom.

Bi umeo sad da nacrtaš Haseov dijagram?

Daniel je napisao:Dakle, ostaje [inlmath]\{(1,2),(1,3),(2,4),(3,4),(3,5)\}[/inlmath].

Do ovde mi je sve kristalno jasno.

Daniel je napisao:Pošto si odredio minimume i najmanji element, njih postavljaš u donjem delu dijagrama.

Nisam znao da je moguće odrediti minimume i najmanji element pre nego što nacrtam sam Haseov dijagram. Pokušao sam baš sad, ali nisam siguran kojim redosledom da stavim brojeve (koji gore/dole).

Ali izuzimajući u obzir prethodno napisano, u momentu sam se setio relacije deli i pomoću nje sam nacrtao sam grafik i samo povezao relacije. E sad, ne znam da li mi se posrećilo, ali baš je takav grafik i u zbirci kao rešenje. Da li bih smeo ovaj moj "kombinovani" način da koristim u sličnim zadacima nisam siguran
Naime, uspravna linija podrazumeva da [inlmath]2[/inlmath] deli [inlmath]1[/inlmath] ali i [inlmath]4[/inlmath] deli [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] i to je to za tu uspravnu liniju. Potom sam gledao [inlmath]3[/inlmath]. Kako ona ne deli nijedan od prethodna 3 elementa, stavio sam je sa strane i isto tako za [inlmath]5[/inlmath] i na kraju sam (kao što sam naveo iznad) samo povezao i to je to.
Hvala puno za prethodno objašnjenje.

Auu, obrukah se za medalju, zaboravi da sam išta napisao u drugom delu posta . Ne znam zbog čega mi je ovo došlo napamet, ali mi se definitivno posrećilo i nema nikakve veze sa ovim. Ako uzmem primer iz prethodnog posta vidimo da tu [inlmath]3[/inlmath] stoji iznad [inlmath]1[/inlmath], a ne ide kontra.
Konkretno, ono što me buni i što ne kapiram još uvek, zbog čega se (kod primera iz ovog, ne prethodnog posta) [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath] nalaze sa strane, a [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath] uspravno, tj. sva 3 su u jednoj liniji? Što ne mogu da budu npr svi uspravno (uključujući [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath])

Acim je napisao:Nisam znao da je moguće odrediti minimume i najmanji element pre nego što nacrtam sam Haseov dijagram.

Naravno da je moguće. Posmatraš definicije najmanjeg, najvećeg, minimalnog i maksimalnog elementa. Element [inlmath]a[/inlmath] skupa [inlmath]S[/inlmath] je:

• najmanji, akko [inlmath](\forall x\in X)\,a\rho x[/inlmath];
• najveći, akko [inlmath](\forall x\in X)\,x\rho a[/inlmath];
• minimalan, akko [inlmath]\lnot(\exists x\in X)(x\ne a\;\land\;x\rho a)[/inlmath];
• maksimalan, akko [inlmath]\lnot(\exists x\in X)(x\ne a\;\land\;a\rho x)[/inlmath].

I onda gledaš po toj definiciji koji od zadatih elemenata ispunjava koji uslov.

Acim je napisao:Konkretno, ono što me buni i što ne kapiram još uvek, zbog čega se (kod primera iz ovog, ne prethodnog posta) [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath] nalaze sa strane, a [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath] uspravno, tj. sva 3 su u jednoj liniji? Što ne mogu da budu npr svi uspravno (uključujući [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath])

Ako bi svi bili u jednoj vertikalnoj liniji, to bi značilo da svi imaju međusobno različite nivoe, što ovde nije slučaj.
Ako posmatraš skup uređenih parova [inlmath]\{(1,2),(1,3),(2,4),(3,4),(3,5)\}[/inlmath] do kojeg smo došli, možeš uočiti da su elementi [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] na istom nivou (jer je element [inlmath]1[/inlmath] neposredni prethodnik za oba ta elementa). Zato na Haseovom dijagramu [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] treba da budu na istoj visini, tj. jedan levo, drugi desno od drugog (nikako jedan iznad drugog).
Slično možemo uočiti i za elemente [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath], koji takođe treba da budu na istom nivou, jer je element [inlmath]3[/inlmath] neposredni prethodnik za oba ta elementa.

To je to, shvatio sam u potpunosti, hvala puno još jednom