MATEMANIJA

Zdravo,
Zadatak glasi: Ispitati koje osobine imaju sledeće relacije skupa [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]:
[dispmath]\rho_1=\left\{\left(x,x^2\right)\mid x\in\mathbb{R}\right\}[/dispmath] Treba odrediti da li je refleksivna, tranzitivna, simetrična/antisimetrična i da li je funkcija.

Na predavanju su ovo generalno rešavali geometrijskom interpretacijom, međutim, lično nisam pouzdan u taj način rešavanja, jer generalno ne baratam geometrijom toliko savršeno, pa me zanima da li ove osobine mogu da se utvrde ubacivanjem određenih brojeva (u ovom i sličnom tipu zadataka)? Ako da, na koji način i šta bih u tome trebao da obratim posebno pažnju? Znači, samo su mi smernice potrebne, ne rešenje zadatka.

Ako pretpostavim da može da se reši zamenom brojeva, kako bih to mogao da iskoristim npr i u sledeća dva primera, koja su za nijansu drugačija, tj. drugačiji im je koncept u odnosu na 1. primer;
[dispmath]\rho=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\mid\max\left\{x,y\right\}=1\right\}[/dispmath]
Takođe, najnejasnija varijanta bi mi bila:
[dispmath]\rho=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\mid x\cdot y>0\right\}[/dispmath] Za poslednji primer da dodam da je poznato da je proizvod dva broja [inlmath]>0[/inlmath] ako su oba pozitivna ili oba negativna, ali ne vidim kako bih to mogao da primenim u daljem rešavanju.

Hvala puno unapred na izdvojenom vremenu i izvinjavam se ako sam previše primera postavio. Pretpostavljam da se generalno svi rade na sličan način a da nije preko geometrije.

Acim je napisao:[dispmath]\rho_1=\left\{\left(x,x^2\right)\mid x\in\mathbb{R}\right\}[/dispmath] ...
da li ove osobine mogu da se utvrde ubacivanjem određenih brojeva (u ovom i sličnom tipu zadataka)? Ako da, na koji način i šta bih u tome trebao da obratim posebno pažnju?

Možeš uvrštavati određene brojeve kako bi našao kontraprimere za određene osobine relacije. Npr. ako ubaciš [inlmath]x=1[/inlmath], dobićeš da [inlmath]1[/inlmath] jeste u relaciji sa [inlmath]1^2[/inlmath] tj. sa samim sobom, tako da time nisi isključio refleksivnost. Međutim, ako ubaciš [inlmath]x=2[/inlmath], videćeš da je [inlmath]2[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]2^2[/inlmath] ali nije u relaciji sa samim sobom, pa si tim kontraprimerom dokazao da relacija nije refleksivna (jer, da bi bila refleksivna, potrebno je da svaki element bude u relaciji sa samim sobom).
Slično za simetričnost, [inlmath]x\rho x^2\;\Longrightarrow\;x^2\rho x[/inlmath]. Za [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath] biće tačne obe strane implikacije i implikacija će biti tačna, takođe će implikacija biti tačna i ako su joj obe strane netačne, ali npr. za [inlmath]x=2[/inlmath] imamo slučaj da je leva strana implikacije tačna a desna netačna, pa je implikacija netačna, što predstavlja kontraprimer za simetričnost.
Za antisimetričnost je nešto zanimljivije. Ispitujemo da li za svako realno [inlmath]x[/inlmath] važi [inlmath]x\rho x^2\;\land\;x^2\rho x\;\Longrightarrow\;x=x^2[/inlmath]. Za svako realno [inlmath]x[/inlmath] osim [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath] leva strana implikacije je netačna (jer je [inlmath]x^2\rho x[/inlmath] netačno), pa je cela implikacija tačna. Posebno se ispituje slučaj [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath], i dobije se da je i za te slučajeve implikacija tačna (jer su joj tačne obe strane), što znači da je antisimetričnost zadovoljena.
Mislim da ti neće biti problem ni za tranzitivnost da nađeš kontraprimer.

Acim je napisao:[dispmath]\rho=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\mid\max\left\{x,y\right\}=1\right\}[/dispmath]

Ovo znači da je svaki broj koji je manji ili jednak [inlmath]1[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]1[/inlmath], kao i obratno ([inlmath]1[/inlmath] je u relaciji sa svakim realnim brojem koji je manji ili jednak [inlmath]1[/inlmath]). U ostalim slučajevima brojevi nisu u relaciji.
Ovde se vidi da je samo [inlmath]1[/inlmath] u relaciji sam sa sobom, tj. relacija nije refleksivna.
Za ovu relaciju se „iz aviona“ vidi da je simetrična, jer joj je takav i zapis – ako [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] zamene mesta, definicija relacije ostaje ista, budući da je [inlmath]\max(x,y)=\max(y,x)[/inlmath].
Mislim da je lako odgovoriti da li je antisimetrična. Uslov antisimetričnosti je [inlmath]\max(x,y)=1\;\land\;\max(y,x)=1\;\Longrightarrow\;x=y[/inlmath] (za svako realno [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]).
Bi li umeo naći kontraprimer za tranzitivnost? Uslov tranzitivnosti je [inlmath]\max(x,y)=1\;\land\;\max(y,z)=1\;\Longrightarrow\;\max(x,z)=1[/inlmath] (za svako realno [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath]).

Acim je napisao:[dispmath]\rho=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\mid x\cdot y>0\right\}[/dispmath] Za poslednji primer da dodam da je poznato da je proizvod dva broja [inlmath]>0[/inlmath] ako su oba pozitivna ili oba negativna, ali ne vidim kako bih to mogao da primenim u daljem rešavanju.

Ovo ti znači da je svaki realan negativan broj u relaciji sa svakim negativnim realnim brojem, kao i da je svaki pozitivan realan broj u relaciji sa svakim pozitivnim realnim brojem. Na prvi pogled, reklo bi se da je relacija refleksivna. Pa ipak, bi li umeo naći kontraprimer za refleksivnost?
Takođe se odmah vidi da je simetrična, jer, kao i u prethodnom primeru, ako u zapisu definicije ove relacije promeniš mesta [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], ništa se ne menja, jer je [inlmath]x\cdot y=y\cdot x[/inlmath].
Uslov antisimetričnosti je [inlmath]x\cdot y>0\;\land\;y\cdot x>0\;\Longrightarrow\;x=y[/inlmath] (za svako realno [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]).
Uslov tranzitivnosti: [inlmath]x\cdot y>0\;\land\;y\cdot z>0\;\Longrightarrow\;x\cdot z>0[/inlmath] (za svako realno [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath]).
Mislim da je sasvim lako odgovoriti da li je antisimetrična/tranzitivna.

Za prvi primer sam shvatio za refleksivnost, ali za simetričnost nisam u potpunosti. Ako uvrstim br. [inlmath]2[/inlmath], dobijam da mi je [inlmath]2\rho 4[/inlmath] odakle sledi da je [inlmath]4\rho 2[/inlmath] što ispunjava uslov simetričnosti. Ja sam u suštini samo zamenio mesta brojevima, mada mi nešto govori da to ne sme da se radi (uopšteno za refleksivnost, simetričnost, antisimetričnost i sl.).