MATEMANIJA

Treba da se ispita da li je relacija na skupu [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], refleksivna, simetricna, antisimetricna i tranzitivna. Relacija je sledeca:
[dispmath]p=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\;|\;x=|y|\right\}[/dispmath]
Ja sam dobio da nije ni refleksivna, ni simetricna, ni antisimetricna a ni tranzitivna, sto mi je malo cudno - verovatno sam negde pogresio. Hvala na pomoci.

Refleksivna nije (kontraprimer: [inlmath]\left(x,y\right)=\left(-1,-1\right)[/inlmath]), nije ni simetrična (kontraprimer: [inlmath]\left(x,y\right)=\left(1,-1\right)[/inlmath]), ali jeste antisimetrična i jeste tranzitivna.


[inlmath]x\rho y\;\land\;y\rho x\;\Rightarrow\; x=y[/inlmath]

[inlmath]x=\left|y\right|\;\land\;y=\left|x\right|\;\Rightarrow\;x=y\;[/inlmath] – treba dokazati da važi ova implikacija.


[inlmath]I[/inlmath] slučaj [inlmath]\underline{x<0\;\lor\;y<0}:[/inlmath]

Ako je [inlmath]x<0[/inlmath], tada iskaz [inlmath]x=\left|y\right|[/inlmath] ne može biti tačan jer je [inlmath]\left|y\right|[/inlmath] uvek [inlmath]\ge 0[/inlmath], a ako je [inlmath]y<0[/inlmath], tada iskaz [inlmath]y=\left|x\right|[/inlmath] ne može biti tačan jer je [inlmath]\left|x\right|[/inlmath] uvek [inlmath]\ge 0[/inlmath]. Prema tome, [inlmath]x=\left|y\right|\;\land\;y=\left|x\right|[/inlmath] je uvek netačan:
[dispmath]\bot\;\Rightarrow\;x=y[/dispmath]
Ovaj iskaz je uvek tačan, bez obzira na istinitosnu vrednost ikaza [inlmath]x=y[/inlmath].


[inlmath]II[/inlmath] slučaj [inlmath]\underline{x\ge 0\;\land\;y\ge 0}:[/inlmath]
[dispmath]x=\left|y\right|\;\land\;y=\left|x\right|\;\Rightarrow\;x=y[/dispmath]
[dispmath]x=y\;\land\;y=x\;\Rightarrow\;x=y[/dispmath]
[dispmath]x=y\;\Rightarrow\;x=y[/dispmath]
I ovaj iskaz je, naravno, uvek tačan.


[inlmath]x\rho y\;\land\;y\rho z\;\Rightarrow\;x\rho z[/inlmath]

[inlmath]x=\left|y\right|\;\land\;y=\left|z\right|\;\Rightarrow\;x=\left|z\right|\;[/inlmath] – treba dokazati da važi ova implikacija.

Na isti način kao i pri dokazivanju antisimetričnosti, razmatramo dva slučaja.


[inlmath]I[/inlmath] slučaj [inlmath]\underline{x<0\;\lor\;y<0}:[/inlmath]

Po istom rezonu kao malopre, deo iskazne formule pre znaka implikacije je uvek netačan, pa je sama implikacija uvek tačna.


[inlmath]II[/inlmath] slučaj [inlmath]\underline{x\ge 0\;\land\;y\ge 0}:[/inlmath]
[dispmath]x=\left|y\right|\;\land\;y=\left|z\right|\;\Rightarrow\;x=\left|z\right|[/dispmath]
[dispmath]x=y\;\land\;y=\left|z\right|\;\Rightarrow\;x=\left|z\right|[/dispmath]
[dispmath]x=\left|z\right|\;\Rightarrow\;x=\left|z\right|[/dispmath]
I ova implikacija je uvek tačna.

Ja sam sve to lepo napisao ali sam racunao da je [inlmath]0\Rightarrow 0=0[/inlmath]
Hvala najlepse.
Nisam znao gde postavim temu pa sam je ovde otvorio

Prebacio sam u „Teoriju skupova“.