MATEMANIJA

Ljudi dal mi neko moze objasniti kako ovo ide tj. kako izgleda bijektivna funkcija? Kada recimo nacrtam [inlmath]\mathbb{N}\times\mathbb{N}[/inlmath] izgleda naravno kako šahovska tabla, ali problem mi predstavlja kako se sad to preslikava na sam [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] a da ta relacija bude bijektivna. Šta preslikava na 1, sta na 2 i tako dalje?
Javite se ako neko moze pomoći ili bilo šta zna u vezi ovoga

A šta predstavlja oznaka „IN“?
Može li tačan tekst zadatka, pošto je ovako napisano prilično nejasno, bar meni?

IN je zapravo skup prirodnih brojeva.
Trebam dokazati da Kartezijev proizvod skupa prirodnih brojeva postoji bijekcija na skup prirodnih bojeva. Ako sam dovoljno jasan, jer nemam konkretno zadanog zadatka.
Znaci imamo uredjene parove npr. [inlmath](1,1),(1,2)[/inlmath] itd. i kada bih unio te tacke u ravan izgledalo bi kao sahovska tabla, ili kao neka mreza ili slicno.
I ne znam kako se ostvaruje bijekcija na IN tj. koji od tih parova povezuje se sa [inlmath]1[/inlmath], koji parovi sa [inlmath]2[/inlmath] i tako u beskonacnost.

Prvo da kažemo šta je bijektivna funkcija. Bijekcija je funkcija koja je istovremeno injekcija (1 na 1) i surjekcija ("NA"), što znači da za funkciju [inlmath]f:\;X\rightarrow Y[/inlmath] kažemo da je bijekcija ako za svaki elemenat [inlmath]x[/inlmath] u skupu [inlmath]X[/inlmath] postoji tačno jedan elemenat [inlmath]y[/inlmath] u skupu [inlmath]Y[/inlmath] tako da je [inlmath]y=f(x)[/inlmath]; i obrnuto, za svako [inlmath]y[/inlmath] iz [inlmath]Y[/inlmath] postoji samo jedno [inlmath]x[/inlmath] iz [inlmath]X[/inlmath] tako da je [inlmath]y=f(x)[/inlmath]. Prosto rečeno, svaki elemenat iz oba skupa je "spojen" samo sa jednim elementom iz drugog skupa.

Ono što je tebi potreno je Kantorova funkcija sparivanja [inlmath]\pi:\;\mathbb{N}^2\rightarrow\mathbb{N}[/inlmath]. Kantor je konstruisao ovu funkciju uzimajući sve tačke sa mreže cik-cak potezima slika. Na taj način uspeo je da bijektivno spari sve uređene parove [inlmath](x,y)[/inlmath] sa jednim prirodnim brojem. Formula za ovu funkciju bi glasila: [dispmath]\pi(x,y)=\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}+y[/dispmath]
Naravno, ima još dosta funkcija koje obavljaju sličan posao. Gornji primer je najčešći.

U latexu [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] možeš dobiti kucajući komandu \mathbb{N}
@mod: Možda bi trebalo temu prebaciti u "Teoriju skupova"

Evo još jednog dosta čestog primera bijekcije [inlmath]\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}[/inlmath]:
[dispmath]f\left(p,q\right)=2^{p-1}\left(2q-1\right)[/dispmath]
tj. svaki prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] se može napisati kao proizvod stepena dvojke i neparnog broja, dakle, u obliku [inlmath]2^{p-1}\left(2q-1\right),\;p,q\in\mathbb{N}[/inlmath], tako da [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] budu jednoznačno određeni.
- ako je [inlmath]n[/inlmath] neparno, može se napisati u obliku [inlmath]n=2^0\left(2q-1\right)[/inlmath], tj. [inlmath]p=1,\:q=\frac{n+1}{2}[/inlmath];
– ako je [inlmath]n[/inlmath] parno i treba ga [inlmath]k[/inlmath] puta podeliti sa [inlmath]2[/inlmath] da bi se dobio neparan broj, tada se može napisati u obliku [inlmath]n=2^k\left(2q-1\right)[/inlmath], tj. [inlmath]p=k+1,\:q=\frac{n}{2^{k+1}}+\frac{1}{2}[/inlmath].

ubavic je napisao:@mod: Možda bi trebalo temu prebaciti u "Teoriju skupova"

Definitivno. I preimenovao sam temu, budući da je skup prirodnih brojeva mnogo poznatiji pod oznakom [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] nego pod oznakom [inlmath]\mathbb{IN}[/inlmath].

Daniel je napisao:I preimenovao sam temu, budući da je skup prirodnih brojeva mnogo poznatiji pod oznakom [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] nego pod oznakom [inlmath]\mathbb{IN}[/inlmath].

Vidiš mene to IN je podsetilo na duplu ivicu slova u black board style-u. (mislim da je to bila i ideja) Ali, dobro je što si preimenovao.

A moja prva pomisao je bila da „IN“ možda ime veze s injektivnom funkcijom, a takođe su mi pale na pamet i inverzne matrice, budući da je tema postavljena u „Linearnoj algebri“...

Hvala ti mnogo, ovo mi je sada zaista mnogo od koristi.

Ja se izvinjavam zaista sto sam eto tako povsno to sve odradio i u pogresnoj temi. Na kraj pameti mi je bilo da odradim u Latex-u pa sam to ovako otkucao nabrzinu.
Oprosti

Ako moze pomoc oko ovog zadatka
Da ne otvaram novu temu, jer imam slican primjer ovome. Samo se radi sa intervalom ili segmentom.
Zapravo, dokazati da realni segment [inlmath][0,1][/inlmath] i realni kvadrat [inlmath][0,1]\times [0,1][/inlmath] imaju istu moc tj. postoji bijekcija. I da li je [inlmath][0,1][/inlmath] iste moci kako skup prirodnih brojeva?

Ne, intervali na realnoj liniji imaju moć kontinuuma [inlmath]\mathfrak{c}[/inlmath] . Moć kontinuuma takođe imaju i realna linija [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], njeni proizvodi [inlmath]\mathbb{R}^n[/inlmath] itd... O tome je bilo reči na temi Kardinalnost skupova, kao i na temi Skupovi.

Najjednostavnija funkcija bi izgledala ovako nekako: [inlmath]f:\;0,a_1a_2a_3a_4\ldots\mapsto(0,a_1a_3a_5\ldots ;\;0,a_2a_4a_6\ldots)[/inlmath]. Nažalost, ova funkcija nije bijekcija zbog problema sa decimalnim zapisom brojeva ([inlmath]0,099999\dots=0,1[/inlmath]). Problem sa ciframa se može prevazići, ali po meni je jednostavnije sledeće rešenje:

CBS Teorema kaže da ako uspostavimo injekcije [inlmath]f:\;\mathbb{X}\mapsto\mathbb{Y}[/inlmath] i [inlmath]g:\;\mathbb{Y}\mapsto\mathbb{X}[/inlmath] tada mora postojati bijekcija [inlmath]h:\;\mathbb{X}\mapsto\mathbb{Y}[/inlmath]. Formalno, to bismo mogli zapisati ovako:
[dispmath]|\mathbb{X}|\leq |\mathbb{Y}|\;\land\;|\mathbb{Y}|\leq |\mathbb{X}|\;\;\Rightarrow\;\;|\mathbb{X}|=|\mathbb{Y}|[/dispmath]
Možemo lako uspostaviti injekcije [inlmath]f:\;(0,1)\mapsto (0,1)^2[/inlmath] i [inlmath]g:\;(0,1)^2\mapsto (0,1)[/inlmath]. Za [inlmath]f[/inlmath] možemo uzeti trivijalnu funkciju [inlmath]x\mapsto (x,0)[/inlmath], dok za [inlmath]g[/inlmath] možemo koristiti goreopisani trik sa ciframa [inlmath](0,a_1a_3a_5\ldots ;\;0,a_2a_4a_6\ldots )\mapsto 0,a_1a_2a_3a_4\ldots[/inlmath] (potrebna nam je samo injekcija). Mi ne znamo i dalje kakva je ta bijekcija, ali znamo da ona postoji i, prema tome, znamo da skupovi imaju istu moć [inlmath]\mathrm{card}\left[(0,1)\right]=\mathrm{card}\left[(0,1)^2\right][/inlmath]

Hvala ti mnogo

Moram napisati jednu ispravku. Administrator Daniel mi je ukazao na par grešaka u mom prethodnom postu:

---

Prvo da vidimo zašto "funkcija" [inlmath]f:\;0,a_1a_2a_3a_4\ldots\mapsto(0,a_1a_3a_5\ldots;\;0,a_2a_4a_6\ldots)[/inlmath] ipak nije funkcija.
U decimalnom sistemu [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] možemo predstaviti kao [inlmath]0.5[/inlmath] i kao [inlmath]0.4999\ldots[/inlmath] (o tome je bilo reči na temi 0.999..=1). Tako da važi [inlmath]0,5\mapsto(0,5;\;0)[/inlmath] i slično [inlmath]0,4999\ldots\mapsto(0,499\ldots;\;0,999\ldots)[/inlmath]. Što znači da se [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] preslikava u [inlmath](0,5;\;0)[/inlmath] i u [inlmath](0,5;\;1)[/inlmath], čime nije zadovoljen uslov jednoznačnosti i [inlmath]f[/inlmath] nije funkcija. Ovaj problem bismo mogli da rešimo tako što bismo odabrali samo jedan način predstavljanja brojeva (tako se isti broj ne može preslikati u dve različite vrednosti). Time dobijamo injektivnu funkciju koja i dalje nije bijekcija. Ali, nama je u dokazu bila potrebna samo injekcija, tako da se možemo zadovoljiti i injekcijom.

Ipak, možemo prepraviti [inlmath]f[/inlmath] u surjekciju.
Umesto da broj "cepkamo" na cifre, broj ćemo rascepiti na parčiće na sledeći način: svako parče se sastoji od niza nula (ili bez nule) i završava se sa cifrom koja nije nula. Npr. [inlmath]0,1230124005370006\rightarrow 0,1\;2\;3\;01\;2\;4\;005\;3\;7\;0006[/inlmath]. Tada izmešamo same parčiće, tako da imamo: [inlmath]0,1230124005370006\mapsto (0,1320057;\;0,201430006)[/inlmath]. Na ovaj način dobijamo traženu bijekciju (prepuštam rigorozan dokaz nekome drugom).

---

I još jedna ispravka:
Originalno pitanje se odnosilo na zatvoreni interval, dok sam ja dao primer sa otvorenim intervalom. Tu nastaje problem, zato što [inlmath]f:\;(0,1)\mapsto (0,1)^2[/inlmath] ne može biti [inlmath]x\mapsto (x,0)[/inlmath], jer [inlmath]0[/inlmath] ne ulazi u otvoreni interval [inlmath](0,1)[/inlmath]

Izvinjavam se na greškama