u paralelogramu [inlmath]ABCD[/inlmath] zadane su točke [inlmath]A(4,-3,1)[/inlmath] i [inlmath]C(0,2,-5)[/inlmath] te vektor [inlmath]\vec{BD}=2\vec i-\vec j-4\vec k[/inlmath].
odredi koordinate točakata [inlmath]B,D,E,F[/inlmath] ako točka [inlmath]E[/inlmath] dijeli dužinu [inlmath]AB[/inlmath] u omjeru [inlmath]3:1[/inlmath], a točka [inlmath]F[/inlmath] je sjecište dužina [inlmath]BD[/inlmath] i [inlmath]CE[/inlmath].

lako je odrediti [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath], ali ne znam [inlmath]E[/inlmath] i [inlmath]F[/inlmath] odrediti...

Kako si radio za određivanje tačaka [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath]? Ja ih odredim tako što nađem središte duži [inlmath]AC[/inlmath] kao aritmetičku sredinu koordinata tačaka [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] i to je neka tačka [inlmath]S\left(2,-\frac{1}{2},-2\right)[/inlmath], koja je takođe i središte duži [inlmath]BD[/inlmath], a zatim na tačku [inlmath]S[/inlmath] dodam polovinu vektora [inlmath]\vec{BD}[/inlmath] da bih dobio tačku [inlmath]D\left(3,-1,-4\right)[/inlmath], a oduzmem polovinu vektora [inlmath]\vec{BD}[/inlmath] da bih dobio dačku [inlmath]B\left(1,0,0\right)[/inlmath].

Znači, imamo tačke
[inlmath]A\left(4,-3,1\right)[/inlmath]
[inlmath]B\left(1,0,0\right)[/inlmath]
[inlmath]C\left(0,2,-5\right)[/inlmath]
[inlmath]D\left(3,-1,-4\right)[/inlmath]

Pošto tačka [inlmath]E[/inlmath] deli duž [inlmath]AB[/inlmath] u odnosu [inlmath]3:1[/inlmath], biće:
[dispmath]x_E-x_A=3\left(x_B-x_E\right),\quad y_E-y_A=3\left(y_B-y_E\right),\quad z_E-z_A=3\left(z_B-z_E\right)[/dispmath]
[dispmath]x_E=\frac{x_A+3x_B}{4},\quad y_E=\frac{y_A+3y_B}{4},\quad z_E=\frac{z_A+3z_B}{4}[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad E\left(\frac{7}{4},-\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right)[/dispmath]

Traži se tačka [inlmath]F[/inlmath] kao presek pravaca [inlmath]BD[/inlmath]i [inlmath]EC[/inlmath]. Treba prvo da odredimo jednačine tih pravaca.

Pravac [inlmath]BD[/inlmath] je određen vektorom [inlmath]\vec{BD}[/inlmath] koji nam je poznat i nekom od tačaka [inlmath]B[/inlmath] ili [inlmath]D[/inlmath]. Uzmimo tačku [inlmath]B[/inlmath] (koordinate su joj „zgodnije“ za računanje).
[dispmath]\vec{BD}=\left<2,-1,-4\right>,\; B\left(1,0,0\right)\quad\Rightarrow\quad BD:\frac{x-1}{2}=\frac{y-0}{-1}=\frac{z-0}{-4}[/dispmath]

Vektor [inlmath]\vec{EC}[/inlmath] bi bio:
[dispmath]\vec{EC}=\left<x_C-x_E,y_C-y_E,z_C-z_E\right>=\left<-\frac{7}{4},\frac{11}{4}, -\frac{21}{4}\right>[/dispmath]
pa jednačinu pravca [inlmath]EC[/inlmath] možemo odrediti kao pravac određen vektorom [inlmath]\vec{EC}[/inlmath] koji sadrži tačku [inlmath]C[/inlmath] (mogli smo odabratii i tačku [inlmath]E[/inlmath], ali tačka [inlmath]C[/inlmath] takođe ima „zgodnije “ koordinate za računanje, pa je lakše pomoću nje):
[dispmath]\vec{EC}=\left<-\frac{7}{4},\frac{11}{4}, -\frac{21}{4}\right>,\; C\left(0,2,-5\right)\quad\Rightarrow\quad EC:\frac{x-0}{-\frac{7}{4}}=\frac{y-2}{\frac{11}{4}}=\frac{z+5}{-\frac{21}{4}}[/dispmath]
Pošto kanonski oblik jednačine pravca, zapravo, predstavlja sistem od dve jednačine s tri nepoznate (čija bi rešenja bila koordinate tačke [inlmath]F[/inlmath]), mi možemo, kako bismo dobili sistem od tri jednačine s tri nepoznate, da uzmemo dve jednačine iz kanonskog oblika jednačine pravca [inlmath]BD[/inlmath] i jednu iz kanonskog oblika jednačine pravca [inlmath]EC[/inlmath]:
[dispmath]\frac{x-1}{2}=\frac{y-0}{-1}\quad\Rightarrow\quad x-1=-2y\quad\Rightarrow\quad x+2y=1[/dispmath]
[dispmath]\frac{x-1}{2}=\frac{z-0}{-4}\quad\Rightarrow\quad x-1=-\frac{1}{2}z\quad\Rightarrow\quad x+\frac{1}{2}z=1[/dispmath]
[dispmath]\frac{x-0}{-\frac{7}{4}}=\frac{y-2}{\frac{11}{4}}\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{7}{11}\left(y-2\right)\quad\Rightarrow\quad x+\frac{7}{11}y=\frac{14}{11}[/dispmath]
Rešenje je
[dispmath]x=\frac{7}{5},\; y=-\frac{1}{5},\; z=-\frac{4}{5}\quad\Rightarrow\quad F\left(\frac{7}{5},\;-\frac{1}{5},\;-\frac{4}{5}\right)[/dispmath]