Zdravo! Imam 2 zadatka:

1. Dato mi je rastojanje među fokusima elipse [inlmath]=6[/inlmath] i veća poluosa [inlmath]=4[/inlmath].
E sad, treba mi kanonski oblik j-ne elipse

---

2. Isto to se traži, a dato je:
fokusi su tačke [inlmath]\left(\pm 1,0\right)[/inlmath] i
Tačka [inlmath]\left(\sqrt 3,\sqrt{\frac{3}{2}}\right)[/inlmath] pripada elipsi.


Hvala unapred

Zdravo! Živ li si?

Kanonski oblik jednačine elipse je
[dispmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/dispmath]
gde je [inlmath]a[/inlmath] [inlmath]x[/inlmath]-poluosa, a [inlmath]b[/inlmath] je [inlmath]y[/inlmath]-poluosa elipse.

U prvom zadatku je rastojanje između fokusa elipse [inlmath]6[/inlmath], tj. [inlmath]2c=6[/inlmath], gde je [inlmath]c[/inlmath] linearni ekscentricitet. Dakle, [inlmath]c=3[/inlmath]. Veća poluosa je [inlmath]4[/inlmath], dakle, [inlmath]a=4[/inlmath].
Potrebna nam je još i manja poluosa, [inlmath]b[/inlmath], da bismo imali oba podatka potrebna za zapis u kanonskom obliku. [inlmath]b[/inlmath] nalazimo iz sledeće formule:
[dispmath]b^2=a^2-c^2[/dispmath]
[dispmath]b^2=4^2-3^2[/dispmath]
[dispmath]b=\sqrt 7[/dispmath]
pa je kanonski oblik ove elipse
[dispmath]\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{\left(\sqrt 7\right)^2}=1[/dispmath]

A u drugom zadatku su nam date koordinate fokusa [inlmath]\left(-1,0\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(1,0\right)[/inlmath]. Odatle sledi da je [inlmath]c=1[/inlmath].
Pošto je [inlmath]b^2=a^2-c^2[/inlmath], kanonski oblik možemo zapisati u obliku
[dispmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1[/dispmath]
tj. u ovom slučaju, kada je [inlmath]c=1[/inlmath],
[dispmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-1}=1[/dispmath]
Veću poluosu, [inlmath]a[/inlmath], nađemo na osnovu jedne poznate tačke elipse, tako što u jednačinu zamenimo njene koordinate:
[dispmath]\frac{\left(\sqrt 3\right)^2}{a^2}+\frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2}{a^2-1}=1[/dispmath]
Odavde se dobiju dva ne baš lepa rešenja:
[dispmath]a_1=\frac{\sqrt{11-\sqrt{73}}}{2},\quad a_2=\frac{\sqrt{11+\sqrt{73}}}{2}[/dispmath]
Pošto mora biti [inlmath]a>c[/inlmath], tj. u ovom slučaju [inlmath]a>1[/inlmath], odbacujemo ono rešenje koje je manje od jedinice, a to je prvo rešenje. Dakle,
[dispmath]a=\frac{\sqrt{11+\sqrt{73}}}{2}[/dispmath]
[inlmath]b[/inlmath] nađemo iz formule [inlmath]b^2=a^2-c^2[/inlmath], tj. [inlmath]b^2=a^2-1[/inlmath] a zatim i [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] uvrstimo u jednačinu kanonskog oblika...

Čude me ovako ružna rešenja, mada sam nekoliko puta proverio svoj postupak. Si siguran da tačno ovako glasi tekst zadatka

Hahah, pa evo, ziv sam Pratim vas ja sve vreme, samo nisam imao sta da pitam, a vi mnogo brzo odgovorite kad neko drugi pita

Jaoo, pa ono je sve sto treba za 1. zadatak? ) Ja sam mislio da ima jos ponesto :/


Da, da. Tako glasi zadatak.

HVALA MNOGO!

Nema na čemu!

PocetnikSRB je napisao:Jaoo, pa ono je sve sto treba za 1. zadatak? ) Ja sam mislio da ima jos ponesto :/

Ja sam u rešenju pretpostavio da jednakost [inlmath]b^2=a^2-c^2[/inlmath] uzimate kao nešto što je poznato. Ali, ukoliko je potrebno, to se lako dâ i dokazati. Posmatraš jednu od dve presečne tačke elipse i [inlmath]y[/inlmath]-ose, recimo tačku [inlmath]\left(0,b\right)[/inlmath]. Kao i za svaku drugu tačku elipse, i za ovu važi da je zbir njenih rastojanja od jednog i od drugog fokusa jednak [inlmath]2a[/inlmath]. Njeno rastojanje od levog fokusa je jednako [inlmath]\sqrt{c^2+b^2}[/inlmath], a njeno rastojanje od desnog fokusa takođe [inlmath]\sqrt{c^2+b^2}[/inlmath] (to se lako uočava kad se nacrta elipsa, pa se primeni Pitagorina teorema), tako da će zbir njenih rastojanja od levog i od desnog fokusa biti [inlmath]2\sqrt{c^2+b^2}[/inlmath]. Izjednačimo to sa [inlmath]2a[/inlmath] i dobijemo da je [inlmath]a=\sqrt{c^2+b^2}[/inlmath], tj. [inlmath]a^2=c^2+b^2[/inlmath], tj. [inlmath]b^2=a^2-c^2[/inlmath].

Da, da. Shvatio sam ))

Hvala!