MATEMANIJA

Pozdrav svima!Zapela sam na ovim zadacima pa molim nekoga da ih riješi i ako je moguće da to napravi na papiru pa skenira i postavi ovdje jer ne razumijem ove oznake
1.Točka [inlmath]A(x,5)[/inlmath] jednako je udaljena od osi apscisa i od točke [inlmath]B(3,2)[/inlmath].Odredite apscisu točke [inlmath]A[/inlmath].
2.Dužina [inlmath]AB,\:A(-4,3),\:B(2,-1)[/inlmath] jedna je stranica paralelograma.Ako je sjecište dijagonala paralelograma točka [inlmath]S(1,4)[/inlmath],kolika mu je površina?
3.Dva su vrha trokuta [inlmath]ABC[/inlmath] točke [inlmath]A(4,1)[/inlmath] i [inlmath]B(2,5)[/inlmath],a treći vrh [inlmath]C[/inlmath] leži na simetrali [inlmath]1.[/inlmath] i [inlmath]3.[/inlmath] kvadranta.Ako je površina trokuta jednaka [inlmath]15[/inlmath] kvadratnih jedinica,odredite koordinate točke [inlmath]C[/inlmath].
4.Vrhovi trokuta [inlmath]ABC[/inlmath] jesu točke [inlmath]A(-3,-1),\:B(5,-7),\:C(1,2)[/inlmath].Odredite točku u kojoj simetrala kuta pri vrhu [inlmath]A[/inlmath] siječe stranicu [inlmath]BC[/inlmath].
5.Točka [inlmath]C[/inlmath] simetrična je slika točke [inlmath]A[/inlmath] s obzirom na točku [inlmath]B[/inlmath],a točka [inlmath]D[/inlmath] simetrična je slika točke [inlmath]B[/inlmath] s obzirom na točku [inlmath]C[/inlmath].Ako je [inlmath]A(-1,3),\:C(3,-3)[/inlmath],odredi točku [inlmath]D[/inlmath].

Mirtica je napisao:1.Točka [inlmath]A(x,5)[/inlmath] jednako je udaljena od osi apscisa i od točke [inlmath]B(3,2)[/inlmath].Odredite apscisu točke [inlmath]A[/inlmath].

Rastojanje tačke [inlmath]A[/inlmath] i apscise je jednako [inlmath]y[/inlmath] koordinati, tj. iznosi [inlmath]5[/inlmath].
Rastojanje između tačaka [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] je [inlmath]r=\sqrt{(x-3)^2+(5-2)^2}[/inlmath].
Ova rastojanja su jednaka:
[dispmath]r=5=\sqrt{(x-3)^2+9}[/dispmath]
Odatle:
[dispmath]25=(x-3)^2+9[/dispmath]
[dispmath](x-3)^2-16=0[/dispmath]
[dispmath](x-7)(x+1)=0[/dispmath]
Dalje imamo dve mogućnosti:
[inlmath]x=7[/inlmath] i [inlmath]x=-1[/inlmath]

Tako da imamo dva rešenja. (postoje dve tačke koje zadovoljavaju taj uslov- [inlmath](-1,5)[/inlmath] i [inlmath](7,5)[/inlmath]).

2.Dužina [inlmath]AB,\:A(-4,3),\:B(2,-1)[/inlmath] jedna je stranica paralelograma.Ako je sjecište dijagonala paralelograma točka [inlmath]S(1,4)[/inlmath],kolika mu je površina?

Ako imamo tačke [inlmath]M(x_1,y_1)[/inlmath] i [inlmath]N(x_2,y_2)[/inlmath] onda tačka [inlmath]P[/inlmath] u sredini duži [inlmath]MN[/inlmath] ima koordinate:
[dispmath]x=\frac{x_1+x_2}{2}\\
y=\frac{y_1+y_2}{2}[/dispmath]
Dijagonale paralelograma se polove, pa je središnja tačka [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BD[/inlmath] u stvari [inlmath]S[/inlmath].
Otuda, pošto su koordinate tačke [inlmath]A\;(x_1,y_1)=(-4,3)[/inlmath], a tačke [inlmath]C\;(x_3, y_3)[/inlmath]
[dispmath]1=\frac{-4+x_3}{2}\\
4=\frac{3+y_3}{2}[/dispmath]
Otuda: [inlmath]x_3=6,\:y_3=5[/inlmath]
Dakle, [inlmath]C(6,5)[/inlmath] je treće teme.

Četvrto teme [inlmath]D[/inlmath] možemo naći iz:
[dispmath]\frac{2+x_4}{2}=1\\
\frac{-1+y_4}{2}=4\\
x_4=0\\
y_4=9[/dispmath]
Dakle, [inlmath]D(0,9)[/inlmath] je četvrto teme.

Paralelogramu sada znamo sva četiri temena (odnosno koordinate istih).
Ostaje da se izračuna površina. Paralelogram [inlmath]ABCD[/inlmath] dijagonala [inlmath]BD[/inlmath] deli na dva trougla: [inlmath]\triangle ABD[/inlmath] i [inlmath]\triangle BCD[/inlmath].

Njihovu površinu možeš izračunati koristeći se onim obrascem za površinu (polovine one detrminante sa jedinicama i koordinatama).
Sračunaš i jedno i drugo, pa sabereš i dobiješ površinu paralelograma.

Mada, u principu, možeš skratiti postupak- dovoljno je izračunati površinu jednog od tih trogulova i pomnožiti je sa dva (obe površine su iste).

Evo i od mene jedan, zasad:

Mirtica je napisao:3.Dva su vrha trokuta [inlmath]ABC[/inlmath] točke [inlmath]A(4,1)[/inlmath] i [inlmath]B(2,5)[/inlmath],a treći vrh [inlmath]C[/inlmath] leži na simetrali [inlmath]1.[/inlmath] i [inlmath]3.[/inlmath] kvadranta.Ako je površina trokuta jednaka [inlmath]15[/inlmath] kvadratnih jedinica,odredite koordinate točke [inlmath]C[/inlmath].

Pošto je vrh [inlmath]C[/inlmath] na simetrali [inlmath]1.[/inlmath] i [inlmath]3.[/inlmath] kvadranta, njegove koordinate će biti jednake: [inlmath]x_C=y_C[/inlmath]
Površina trougla je data izrazom:
[dispmath]P=\frac{1}{2}\left|\left|\begin{matrix}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1
\end{matrix}\right|\right|[/dispmath]
pa je površina trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] jednaka:
[dispmath]P_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\left|\left|\begin{matrix}
4 & 1 & 1 \\
2 & 5 & 1 \\
x_C & y_C & 1
\end{matrix}\right|\right|=\frac{1}{2}\left|-4x_C-2y_C+18\right|=\left|-2x_C-y_C+9\right|=15[/dispmath]
Pošto je [inlmath]x_C=y_C[/inlmath], biće
[dispmath]\left|-2x_C-x_C+9\right|=\left|-3x_C+9\right|=15[/dispmath]
Prvo sve skratimo sa [inlmath]3[/inlmath],
[dispmath]\left|-x_C+3\right|=5[/dispmath]
pa onda rešavamo jednačinu za dva slučaja:

[inlmath]\left.1\right)\quad -x_C+3<0,\;x_C>3:[/inlmath]
[dispmath]-\left(-x_C+3\right)=5[/dispmath][dispmath]x_C-3=5[/dispmath][dispmath]x_C=8[/dispmath]
Pošto ovo rešenje zadovoljava pretpostavljeni uslov [inlmath]x_C>3[/inlmath], to rešenje se prihvata.

[inlmath]\left.2\right)\quad -x_C+3\ge 0,\;x_C\le 3:[/inlmath]
[dispmath]-x_C+3=5[/dispmath][dispmath]x_C=-2[/dispmath]
Pošto ovo rešenje zadovoljava pretpostavljeni uslov [inlmath]x_C\le 3[/inlmath], i to rešenje se prihvata.
Prema tome, dva rešenja su:
[dispmath]C\left(-2,-2\right)\qquad C\left(8,8\right)[/dispmath]

Mirtica je napisao:4.Vrhovi trokuta [inlmath]ABC[/inlmath] jesu točke [inlmath]A(-3,-1),\:B(5,-7),\:C(1,2)[/inlmath].Odredite točku u kojoj simetrala kuta pri vrhu [inlmath]A[/inlmath] siječe stranicu [inlmath]BC[/inlmath].

Simetrala ugla pri vrhu [inlmath]A[/inlmath] je, zapravo, simetrala pravaca [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath]. Da bismo je odredili, treba prvo da odredimo koeficijente pravaca [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath].
[dispmath]k_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-7+1}{5+3}=-\frac{3}{4}[/dispmath]
[dispmath]k_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{2+1}{1+3}=\frac{3}{4}[/dispmath]
Ako sa [inlmath]k[/inlmath] označimo koeficijent pravca simetrale ova dva pravca, tada će tangens ugla između pravca [inlmath]AB[/inlmath] i simetrale biti:
[dispmath]\mathrm{tg}\:\varphi_1=\frac{k-k_{AB}}{1+k\cdot k_{AB}}=\frac{k+\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}k}=\frac{4k+3}{4-3k}[/dispmath]
a tangens ugla između simetrale i pravca [inlmath]AC[/inlmath] biće:
[dispmath]\mathrm{tg}\:\varphi_2=\frac{k_{AC}-k}{1+k\cdot k_{AC}}=\frac{\frac{3}{4}-k}{1+\frac{3}{4}k}=\frac{3-4k}{4+3k}[/dispmath]
Pošto se radi o simetrali između pravaca [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath], uglovi [inlmath]\varphi_1[/inlmath] i [inlmath]\varphi_2[/inlmath] će biti jednaki, pa su jednaki i njihovi tangensi:
[dispmath]\mathrm{tg}\:\varphi_1=\mathrm{tg}\:\varphi_2[/dispmath][dispmath]\frac{4k+3}{4-3k}=\frac{3-4k}{4+3k}[/dispmath][dispmath]\left(4k+3\right)\left(4+3k\right)=\left(4-3k\right)\left(3-4k\right)[/dispmath][dispmath]12k^2+25k+12=12k^2-25k+12=0[/dispmath][dispmath]k=0[/dispmath]
Pošto je koeficijent pravca simetrale jednak nuli, to znači da je simetrala paralelna s [inlmath]x[/inlmath]-osom. A to znači da će tačka u kojoj simetrala iz vrha [inlmath]A[/inlmath] seče stranicu [inlmath]BC[/inlmath] (označimo tu tačku sa [inlmath]D[/inlmath]) imati istu [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu kao i tačka [inlmath]A[/inlmath], a to je [inlmath]-1[/inlmath].
[inlmath]x[/inlmath]-koordinatu tačke [inlmath]D[/inlmath] odredimo tako što prvo nađemo jednačinu pravca [inlmath]BC[/inlmath]:
[dispmath]y-y_B=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}\left(x-x_B\right)[/dispmath][dispmath]y+7=\frac{2+7}{1-5}\left(x-5\right)[/dispmath][dispmath]y+7=-\frac{9}{4}\left(x-5\right)[/dispmath][dispmath]y=-\frac{9}{4}x+\frac{17}{4}[/dispmath]
a pošto tačka [inlmath]D[/inlmath] pripada pravcu [inlmath]BC[/inlmath], njena [inlmath]x[/inlmath]-koordinata će biti:
[dispmath]y_D=-\frac{9}{4}x_D+\frac{17}{4}[/dispmath][dispmath]-1=-\frac{9}{4}x_D+\frac{17}{4}[/dispmath][dispmath]9x_D=17+4[/dispmath][dispmath]x_D=\frac{7}{3}[/dispmath]
Znači, tačka [inlmath]D[/inlmath] ima koordinate [inlmath]D\left(\frac{7}{3},-1\right)[/inlmath].

Mirtica je napisao:5.Točka [inlmath]C[/inlmath] simetrična je slika točke [inlmath]A[/inlmath] s obzirom na točku [inlmath]B[/inlmath],a točka [inlmath]D[/inlmath] simetrična je slika točke [inlmath]B[/inlmath] s obzirom na točku [inlmath]C[/inlmath].Ako je [inlmath]A(-1,3),\:C(3,-3)[/inlmath],odredi točku [inlmath]D[/inlmath].

Ovaj zadatak je sasvim lako uraditi i ako si razumela sve dosadašnje zadatke, onda ti ni ovaj neće predstavljati problem. Bitno je da uočiš da se sve četiri tačke [inlmath]\left(A,B,C,D\right)[/inlmath] nalaze na istom pravcu, pri čemu je [inlmath]AB=BC=CD[/inlmath].
Koristiš formulu za koordinate središta duži,
[dispmath]x_B=\frac{1}{2}\left(x_A+x_C\right),\quad y_B=\frac{1}{2}\left(y_A+y_C\right)[/dispmath]
gde je [inlmath]B[/inlmath] središte duži [inlmath]AC[/inlmath].