MATEMANIJA

Naći jednačinu kruga koji dodiruje obe koordinatne ose i sadrži tačku [inlmath]M (2,1)[/inlmath].

Ne znam kako da počnem, pa ako možete da mi date neku smernicu.
Pošto obe koordinatne ose dodiruju krug, onda sam došao do zaključka da tačka na ordinati [inlmath](N)[/inlmath] ima koordinate [inlmath](0,y_N)[/inlmath], a tačka na apscisi [inlmath](B)[/inlmath] ima koordinate [inlmath](x_B,0)[/inlmath].
Negde sam pročitao da ako obe koordinate dodiruju krug, da su odsečci na koordinatama jednaki sa [inlmath]r[/inlmath], tj [inlmath]|x|=|y|=r[/inlmath], što je i logično.
Onda sam pokušao sa [inlmath]|N0|=|B0|[/inlmath] iz čega sledi [inlmath]\sqrt{(x_N-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{(0-0)^2+(y_B-0)^2}[/inlmath] iz čega sledi ono što sam već znao [inlmath]x_N=y_B[/inlmath].
I tako se sve vreme vrtim u krugu nepoznate jednačine.

Napravio sam sliku koja će pojasniti o čemu se radi


Kao što je navedeno u zadatku, krug dodiruje [inlmath]Ox[/inlmath] i [inlmath]Oy[/inlmath] u tačkama koje ćemo obeležiti sa [inlmath]K\left(0,q\right)[/inlmath] i [inlmath]L\left(p,0\right)[/inlmath] Sa slike možemo uočiti da je [inlmath]r=p=q[/inlmath]
Krug sadrži tačku [inlmath]M\left(2,1\right)[/inlmath] tako da na osnovu svih podataka možemo napisati okvirno jednačinu kruga.
[dispmath]\left(2-r\right)^2+\left(1-r\right)^2=r^2\\
4-4r+r^2+1-2r+r^2=r^2\\
r^2-6r+5=0\\
D=16\\
r_1=5\\
r_2=1[/dispmath]
Dobijamo dve jednačine kruga koje ispunjavaju navedene uslove.
[dispmath]\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=1\\
\left(x-5\right)^2+\left(y-5\right)^2=25[/dispmath]

EDIT: Jedno pitanje, krug dodiruje ili sadrži tačku [inlmath]M\left(2,1\right)[/inlmath], u slučaju da sadrži to u potpunosti menja zadatak.

Herien Wolf je napisao:Krug sadrži tačku [inlmath]M\left(2,1\right)[/inlmath] tako da na osnovu svih podataka možemo napisati okvirno jednačinu kruga.
[dispmath]\left(2-r\right)^2+\left(1-r\right)^2=r^2[/dispmath]

Ne znam koliko će ovaj korak biti jasan, pa neće škoditi da ga malo izdetaljišem. Jednačina kružnice u opštem obliku glasi [inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=r^2[/inlmath], gde su [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] koordinate centra, a [inlmath]r[/inlmath] poluprečnik te kružnice.
Pošto se sa Wolfove slike vidi da je [inlmath]p=q=r[/inlmath], uvrštavanjem u prethodnu jednačinu dobijamo [inlmath]\left(x-r\right)^2+\left(y-r\right)^2=r^2[/inlmath].
A zatim, pošto kružnica treba da sadrži tačku [inlmath]M\left(2,1\right)[/inlmath], u prethodnu jednačinu uvrštavamo koordinate tačke [inlmath]M[/inlmath], tj. [inlmath]x=2[/inlmath] i [inlmath]y=1[/inlmath], čime dobijamo to što je Wolf napisao, [inlmath]\left(2-r\right)^2+\left(1-r\right)^2=r^2[/inlmath].

BTW kružnica je po definiciji geometrijsko mesto tačaka podjednako udaljenih od jedne iste tačke (koja predstavlja centar te kružnice). Krug obuhvata i kružnicu (kao obod tog kruga), ali i površ unutar kružnice. Prema tome, reći da krug sadrži neku tačku značilo bi da ta tačka može da se nađe i na obodu kruga (kružnici), ali isto tako i unutar kruga, zbog čega u tom slučaju ne bismo imali dovoljno podataka da ovaj zadatak rešimo. Otuda i pitanje koje ti je Wolf postavio,

Herien Wolf je napisao:EDIT: Jedno pitanje, krug dodiruje ili sadrži tačku [inlmath]M\left(2,1\right)[/inlmath], u slučaju da sadrži to u potpunosti menja zadatak.

Da napomenem i to da se krug, za razliku od kružnice, ne bi mogao opisati jednačinom, već bi se opisao nejednačinom (koja bi bila ista kao jednačina kružnice, samo što bismo umesto znaka [inlmath]=[/inlmath] imali znak [inlmath]\le[/inlmath]): [inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2{\color{red}\le}r^2[/inlmath]

Hvala ljudi!
Ja sam bukvalno prepisao od reči do reči tekst iz zbirke.
Btw to ni meni nije bilo jasno, jer sam uvek doživljavao kružnicu kao liniju kruga, dok je krug linija i ono unutra, tj cela površina, međutim istraživao sam po netu, i sad neki profesori kružnicu nazivaju krugom, dok im je krug kružna površ, ili tako nešto.
Evo kod mene u zbirci za jednačinu kružnice piše jednačina kruga.
EDIT: Koji program koristite za ove crteže? Znam da se ovaj Wolfov crtež može lagano odraditi preko photoshopa, ali me zanima da li ima baš neki program za matematičke funkcije koji je dostupan širim narodnim masama?

GeoGebra, na primer. Besplatan programcic, odlican za 2D, a moze posluziti i za 3D.

A evo i grafičkog prikaza ta dva rešenja (tj. te dve kružnice):


Naravno, obe kružnice dodiruju koordinatne ose i obe sadrže zadatu tačku [inlmath]M[/inlmath] (na slici obeleženu zeleno).

Nenad je napisao:Btw to ni meni nije bilo jasno, jer sam uvek doživljavao kružnicu kao liniju kruga, dok je krug linija i ono unutra, tj cela površina, međutim istraživao sam po netu, i sad neki profesori kružnicu nazivaju krugom, dok im je krug kružna površ, ili tako nešto.
Evo kod mene u zbirci za jednačinu kružnice piše jednačina kruga.

Licno i sam koristim termin krug za skup tacaka u ravni koji zadovoljava jednacinu [inlmath](x-a)^2+(y-b)^2=r^2, r>0[/inlmath], a kruzna povrs (ili ponekad otvoren disk) kada stoji [inlmath]<[/inlmath], odnosno zatvorena kruzna povrs (odnosno zatvoren disk) kada je [inlmath]\le[/inlmath]. Stavise, kod prof. Zorana Lucica u njegovoj knjizi „Euklidska i hiperbolicka geometrija“ moze se naci (citiram) na strani 135 (izdanje iz 1997. godine):

Neka je [inlmath]\mathcal{X}[/inlmath] pramen pravih i [inlmath]X[/inlmath] proizvoljna tacka u ravni [inlmath]\pi[/inlmath] tog pramena koja ne pripada svim pravama pramena [inlmath]\mathcal{X}[/inlmath]. Skup svih tacaka ravni [inlmath]\pi[/inlmath], osnosimetricnih tacki [inlmath]X[/inlmath] u odnosu na prave pramena [inlmath]\mathcal{X}[/inlmath] cemo zvati epicikom i obelezavacemo ga sa [dispmath]\mathcal{E}(\mathcal{X},X).[/dispmath]..........
..........
Ako je [inlmath]\mathcal{X}_O[/inlmath] pramen konkurentnih pravih, epicikl [inlmath]\mathcal{E}(\mathcal{X}_O,X)[/inlmath] cemo zvati krugom. Tacku [inlmath]O[/inlmath] cemo zvati sredistem ili centrom toga kruga, a duz [inlmath]OX[/inlmath] njegovim poluprecnikom ili radijusom. Krug cemo obelezavati i sa [inlmath]k(O,r)[/inlmath]. U toj oznaci [inlmath]O[/inlmath] je srediste, a [inlmath]r[/inlmath] poluprecnik kruga [inlmath]k[/inlmath]. Neposredno se dokazuje da krug istovetan sa skupom svih tacaka [inlmath]Y[/inlmath] ravni kojoj pripada, takvih da je [inlmath]OX\cong OY[/inlmath].

Potom, na strani 138 kaze:

Unijom kruga i njegove unutrasnjosti cemo zvati i kruznom povrsi, a sam krug cemo ponekad zvati i rubom te povrsi.

Naravno, sve zavisi gde se sta prica, te je i razumljivo zasto se u osnovnoj/srednjoj skoli vise koriste termini kruznice (za [inlmath]=[/inlmath]), odnosno kruga (za [inlmath]\le[/inlmath]).

Što se srednje škole tiče, kod Jovana D. Kečkića u knjizi „Matematika za III razred srednje škole“ iz 1999. godine imamo sledeću definiciju:

Kružna linija je skup tačaka u ravni sa osobinom da su sve tačke tog skupa na jednakom rastojanju [inlmath]r[/inlmath] od jedne stalne tačke te ravni [inlmath]C[/inlmath], koja se naziva centar (središte) kružne linije.

...
...
...

Jednačina kružne linije glasi:
[dispmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=r^2[/dispmath]