MATEMANIJA

Date su tacke [inlmath]A(2,1),B(4,2),C(-2,2)[/inlmath]. Odrediti tacku iz koje se duzi [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath] vide pod pravim uglom. Resenje je [inlmath]X(2,2)[/inlmath].
Prvo sam napisao jednacinu prave koja prolazi kroz tacku [inlmath]A[/inlmath]: [inlmath]y-1=k_1(x-2)\;\Longrightarrow\;k_1=\frac{y-1}{x-2}[/inlmath]. Analogno i za tacku [inlmath]B[/inlmath]: [inlmath]k_2=\frac{y-2}{x-4}[/inlmath]. Kako se duz [inlmath]AB[/inlmath] vidi pod pravim uglom iz tacke [inlmath]X[/inlmath] sledi da je [inlmath]k_1k_2=-1[/inlmath]. Kad ubacim odgovarajuce vrednosti za [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath] dobijem jednacinu kruga [inlmath]x^2+y^2-3y-6x+2=0[/inlmath]. Moja ideja je bila da ovo isto uradim i za duz [inlmath]AC[/inlmath] i da koordinate trazene tacke dobijem kao resenje sistema od dve nepoznate (u mom slucaju to bi bio sistem od dve jednacine kruga). Medjutim, ako u jednacinu kruga koju sam vec izracunao ubacim resenje zadatka mogu primetiti da nesto nije dobro. Malo je i nelogicno da se iz svih tacaka koje pripadaju jednom krugu duz [inlmath]AB[/inlmath] vidi pod istim uglom.
Zanima me da li zadatak moze da se uradi na ovaj nacin, a ako moze, gde gresim? Hvala

Frank je napisao:Medjutim, ako u jednacinu kruga koju sam vec izracunao ubacim resenje zadatka mogu primetiti da nesto nije dobro.

Nije dobro, jer si dobio pogrešnu jednačinu kružnice. Greška ti je u ovom crvenom:

Frank je napisao:[inlmath]x^2+y^2-3y-6x+{\color{red}2}=0[/inlmath]

Frank je napisao:Malo je i nelogicno da se iz svih tacaka koje pripadaju jednom krugu duz [inlmath]AB[/inlmath] vidi pod istim uglom.

A zašto bi bilo nelogično? Ako je [inlmath]AB[/inlmath] prečnik kružnice, tada će se iz svih tačaka te kružnice (različitih od tačaka [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]) duž [inlmath]AB[/inlmath] videti pod istim (i to pravim) uglom.
Upravo bi to bila ideja i za (po meni) lakši način rešavanja. Konstruišeš dve kružnice takve da su im [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath] prečnici – iz svih tačaka prve kružnice [inlmath]AB[/inlmath] će se videti pod pravim uglom, iz svih tačaka druge kružnice [inlmath]AC[/inlmath] će se videti pod pravim uglom, a u preseku tih kružnica biće tražene tačke iz kojih se obe duži vide pod pravim uglom.
Pri tome, kružnice je vrlo lako odrediti, gotovo u jednom potezu. Centar kružnice čiji je [inlmath]AB[/inlmath] prečnik, nalaziće se tačno na sredini između tačaka [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], prema tome, koordinate centra će biti [inlmath](p,q)=\left(3,\frac{3}{2}\right)[/inlmath]. Poluprečik [inlmath]r[/inlmath], kao polovina prečnika, biće jednak polovini rastojanja između [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], tj. [inlmath]r=\frac{\sqrt5}{2}[/inlmath]. I, takoreći u jednom cugu, dobijamo jednačinu prve kružnice, [inlmath](x-3)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{5}{4}[/inlmath] (što, ako bi se razvilo, dobio bi se oblik kao što si ti napisao, ali s onim tačnim poslednjim sabirkom).

Daniel je napisao:I, takoreći u jednom cugu, dobijamo jednačinu prve kružnice, [inlmath](x-3)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{5}{4}[/inlmath]

Iz svih tacaka koje pripadaju ovoj kruznici, izuzev tacke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] duz [inlmath]AB[/inlmath] se vidi pod pravim uglom. Ovo je bitno kada trazimo presek dve kruznice. Kao presek se dobiju dve tacke, pa treba odbaciti jednu (onu koja istovremeno predstavlja i jednu od tacaka koje ogranicavaju duz [inlmath]AB[/inlmath] odnosno [inlmath]AC[/inlmath].

A ta jedna tačka je upravo tačka [inlmath]A[/inlmath], jer je to zajednička tačka duži [inlmath]AB[/inlmath] i duži [inlmath]AC[/inlmath]. Da, ona se odbacuje i ostaje ono drugo rešenje.

Da li su kruznicom, čiji je prečnik duz [inlmath]AB[/inlmath] a centar na sredini [inlmath]AB[/inlmath], obuhvacene sve tačke iz kojih se duz [inlmath]AB[/inlmath] vidi pod pravim uglom?

Jesu, obuhvaćene su sve tačke. Neka imamo duž [inlmath]AB[/inlmath] i tačku [inlmath]P[/inlmath] iz koje se [inlmath]AB[/inlmath] vidi pod pravim uglom:


Lako se dokazuje da je [inlmath]OP=OA[/inlmath] (ili [inlmath]OP=OB[/inlmath], svejedno) – ovo prepuštam tebi, može preko podudarnosti trouglova, može i proširenjem do pravougaonika (pri čemu znamo da su dijagonale pravougaonika međusobno jednake i da se polove u tački preseka).
A tada, pošto je [inlmath]OA[/inlmath] zapravo poluprečnik kružnice čiji je prečnik [inlmath]AB[/inlmath], sledi da je i [inlmath]OP[/inlmath] takođe poluprečnik kružnice, tj. da [inlmath]P[/inlmath] pripada kružnici.

Frank je napisao:čiji je prečnik duz [inlmath]AB[/inlmath] a centar na sredini [inlmath]AB[/inlmath],

Ovo crveno je suvišno, jer čim je duž [inlmath]AB[/inlmath] prečnik kružnice, odatle već sledi da će sredina duži [inlmath]AB[/inlmath] biti centar kružnice.