MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF – 15. jun 2019.
12. zadatak

Zadatak ide ovako: Jednačina elipse, čija je velika osa dužine [inlmath]10[/inlmath] i koja ima žiže u tačkama [inlmath](-6,-3)[/inlmath] i [inlmath](0,-3)[/inlmath], je:
Rešenje je: [inlmath]\displaystyle\frac{\left(x+3\right)^2}{25}+\frac{\left(y+3\right)^2}{16}=1[/inlmath]

Ono što je meni čudno jeste zašto prva žiža nema jednu koordinatu [inlmath]0[/inlmath], da li mora da bude nula?
Kod elipse bi trebalo da može da se koristi [inlmath]c^2=a^2-b^2[/inlmath], ali u žižama [inlmath]c[/inlmath] je različito.

miljan1403 je napisao:Ono što je meni čudno jeste zašto prva žiža nema jednu koordinatu [inlmath]0[/inlmath], da li mora da bude nula?

Jedna od koordinata ziza (da li ce biti [inlmath]x[/inlmath] ili [inlmath]y[/inlmath] koordinata zavisi od toga da li je zarotirana za [inlmath]90^\circ[/inlmath] ili ne) ce biti nula ako elipsa nije izvedena iz osnovnog polozaja, tj. ako se njen centar poklapa sa koordinatnim pocetkom. U suprotnom ovo ne vazi.

miljan1403 je napisao:Kod elipse bi trebalo da može da se koristi [inlmath]c^2=a^2-b^2[/inlmath], ali u žižama [inlmath]c[/inlmath] je različito.

[inlmath]c[/inlmath] je linearni ekscentricitet elipse, a ne koordinata zize, i predstavlja rastojanje zize od centra elipse. Zize elipse su tacke [inlmath]F_1(-c,0)[/inlmath] i [inlmath]F_2(c,0)[/inlmath].


Ono sto mene u ovom zadatku buni jesu koordinate ziza, [inlmath]F_1(-6,-3)[/inlmath] i [inlmath]F(0,3)[/inlmath]. Tacnije nije mi jasno kako tacka [inlmath]F_2(0,3)[/inlmath] predstavlja zizu elipse kad ta tacka i ne pripada toj istoj elipsi. Da li mozda treba da pise [inlmath]F_2(0,-3)[/inlmath]? U tom slucaju zadatak bi imao smisla, ili mozda ja nesto previdjam. Tada bi velika osa "lezala" na pravoj [inlmath]x=-3[/inlmath], a mala na [inlmath]y=-3[/inlmath]. Upravo od prave [inlmath]y=-3[/inlmath] zize elipse su podjednako udaljene.

Frank je napisao:Ono sto mene u ovom zadatku buni jesu koordinate ziza, [inlmath]F_1(-6,-3)[/inlmath] i [inlmath]F(0,3)[/inlmath]. Tacnije nije mi jasno kako tacka [inlmath]F_2(0,3)[/inlmath] predstavlja zizu elipse kad ta tacka i ne pripada toj istoj elipsi. Da li mozda treba da pise [inlmath]F_2(0,-3)[/inlmath]? U tom slucaju zadatak bi imao smisla, ili mozda ja nesto previdjam. Tada bi velika osa "lezala" na pravoj [inlmath]x=-3[/inlmath], a mala na [inlmath]y=-3[/inlmath]. Upravo od prave [inlmath]y=-3[/inlmath] zize elipse su podjednako udaljene.

Da u pravu si, treba da bude [inlmath]F(0,-3)[/inlmath] ja sam slučajno pogrešio pri kucanju.
Kako da pristupim reševanju ovog zadatka? Šta treba da uradim prvo?

Jednacina elipse u opstem obliku glasi [inlmath]\displaystyle\frac{(x-p)^2}{a^2}+\frac{(y-q)^2}{b^2}=1[/inlmath], gde su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] duzine velike, odnosno male poluose, a [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] pomeraji duz [inlmath]x[/inlmath], odnosno [inlmath]y[/inlmath]-ose ([inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] pokazuju za koliko je elipsa izmestena iz osnovnog polozaja).
Duzina velike poluose je [inlmath]5[/inlmath], a linearni ekscentricitet je [inlmath]3[/inlmath], pa koristeci formulu [inlmath]c^2=a^2-b^2[/inlmath] (koju si i sam naveo), dobijamo da je [inlmath]b^2=16[/inlmath]. Srediste duzi [inlmath]F_1F_2[/inlmath] je zapravo centar elipse. Sada imamo sve potrebne podatke, ubacimo ih u opsti oblik i dobijamo trazenu jednacinu elipse.

Frank je napisao:[inlmath]c[/inlmath] je linearni ekscentricitet elipse, a ne koordinata zize, i predstavlja rastojanje zize od centra elipse. Zize elipse su tacke [inlmath]F_1(-c,0)[/inlmath] i [inlmath]F_2(c,0)[/inlmath].

Prva rečenica je tačna, a druga nije uvek (štaviše, i u suprotnosti je s prvom rečenicom).
Obe rečenice jesu tačne kada je elipsa u svom osnovnom položaju (centar elipse u koordinatnom početku).
Ali, kada je elipsa translirana u odnosu na svoj osnovni položaj, tada njen linearni ekscentricitet i dalje jeste [inlmath]c[/inlmath], ali žiže elipse više nisu [inlmath]F_1(-c,0)[/inlmath] i [inlmath]F_2(c,0)[/inlmath].

Frank je napisao:Tacnije nije mi jasno kako tacka [inlmath]F_2(0,3)[/inlmath] predstavlja zizu elipse kad ta tacka i ne pripada toj istoj elipsi. Da li mozda treba da pise [inlmath]F_2(0,-3)[/inlmath]?

Žiža i inače ne pripada elipsi. Žiža pripada oblasti koja je oivičena elipsom.
Ispravio sam to [inlmath](0,3)[/inlmath] u [inlmath](0,-3)[/inlmath] u uvodnom postu. S tim ispravljenim podatkom vidi se da su [inlmath]y[/inlmath]-koordinate obe žiže jednake, tj. da elipsa nije rotirana već „samo“ translirana (da su i [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]y[/inlmath]-koordinate žiža različite, kao što je prvobitno bilo napisano, to bi značilo da imamo rotaciju elipse i to bi tek bila posebna priča, ali srećom po srednjoškolce, takvi slučajevi se ne izučavaju u srednjoj školi – izučava se samo translacija, koja je dosta jednostavnija).

Frank je napisao:Da li mozda treba da pise [inlmath]F_2(0,-3)[/inlmath]? Tada bi velika osa "lezala" na pravoj [inlmath]x=-3[/inlmath], a mala na [inlmath]y=-3[/inlmath]. Upravo od prave [inlmath]y=-3[/inlmath] zize elipse su podjednako udaljene.

Zapravo, sve treba obrnuto – dakle, velika osa bi ležala na pravoj [inlmath]{\color{red}y}=-3[/inlmath], a mala na [inlmath]{\color{red}x}=-3[/inlmath], jer su žiže podjednako udaljene od prave [inlmath]{\color{red}x}=-3[/inlmath].

Frank je napisao:Duzina velike poluose je [inlmath]5[/inlmath], a linearni ekscentricitet je [inlmath]3[/inlmath],

Da, jer smo linearni ekscentricitet dobili kao polovinu dužine [inlmath]\overline{F_1F_2}[/inlmath].

Da li [inlmath]c[/inlmath] uvek predstavlja udaljenost ziza od ose simetrije, i u osnovnom i u transliranom polozaju?

Da, [inlmath]c[/inlmath] uvek predstavlja tu udaljenost, i [inlmath]c[/inlmath] se ne menja ni translacijom, ni rotacijom elipse.
Možeš to posmatrati i ovako – [inlmath]c[/inlmath] je određeno veličinom i oblikom elipse, a pošto se ni oblik ni veličina elipse ne menjaju pri njenom kretanju (tj. pri translaciji i/ili rotaciji), to se pri kretanju ne može promeniti ni parametar [inlmath]c[/inlmath].

Baš kao i parametar parabole.

Što se tiče elipse stvarno, i dalje, imam nekako problema da shvatim kako ona funkcioniše. Pa sam odlučio da pitam jednog druga koji se sprema za ETF i on mi je dao ove dve formule
[dispmath]\frac{\left(x-p\right)^2}{a^2}+\frac{\left(x-q\right)^2}{b^2}=1[/dispmath][dispmath]F_1(-c+p,\,q),\;F_2(c+p,\,q)[/dispmath] Da li su one okej? Odavde se vidi da je [inlmath]q=-3[/inlmath], i dobijemo sistem tako što kažemo da je [inlmath]-c+p=-6\;\land\;c+p=0[/inlmath], posle kada dobijemo [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] možemo preko [inlmath]c^2=a^2-b^2[/inlmath] dobiti [inlmath]b[/inlmath].
Na kraju sve se to ubaci u jednačinu elipse i gotovo,

miljan1403 je napisao:[dispmath]F_1(-c+p,\,q),\;F_2(c+p,\,q)[/dispmath] Da li su one okej?

Ova formula ti govori da su koordinate ziza pomerene (iz osnovnog polozaja) koliko i sve tačke koje pripadaju toj elipsi - pravilo translacije. U osnovnom polozaju (elipsa nije '' iskrenuta'' tj. zarotirana za [inlmath]90^\circ[/inlmath]) koordinate ziza su [inlmath]F_1(-c,0)[/inlmath] i [inlmath]F_2(c,0)[/inlmath], pa i sam mozes zaključiti zašto formula glasi bas ovako kao sto ti je drug rekao.
Medjutim, ako je elipsa iskrenuta za [inlmath]90^\circ[/inlmath] onda bi formula išla
[dispmath]F_1(p,\,-c+q)\quad{F_2(p,\,c+q)}[/dispmath] Koordinate ziza elipse, koja je ''iskrenuta'', u osnovnom polozaju (centar elipse se poklapa sa koordinatnim početkom) su [inlmath]F_1(0,c)[/inlmath] i [inlmath]F_2(0,-c)[/inlmath].
Preporučujem ti da ne učiš ove formule napamet, jer ako ih ne razumeš, postoje velike šanse da ih brzo zaboraviš (moze biti vrlo gadno na prijemnom ). I da zanemaris formule, svakako je bolje i neuporedivo zanimljivije da razumeš kako to funkcioniše, a ne napamet da učiš.
Mozes pogledati i ovu temu.