MATEMANIJA

Pozdrav! Zadatak glasi: Prava koja prolazi kroz koordinatni pocetak sece prave [inlmath]x+y=1[/inlmath] i [inlmath]x-y=1[/inlmath] u tackama [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]. Odrediti geometrijsko mesto sredista duzi [inlmath]S[/inlmath] duzi [inlmath]AB[/inlmath].
Resenje: [inlmath]\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-y^2=\frac{1}{4}[/inlmath], hiperbola.
Neka je [inlmath]l_1\colon x+y=1[/inlmath] i [inlmath]l_2\colon x-y=1[/inlmath]. Prava koja sece prave [inlmath]l_1[/inlmath] i [inlmath]l_2[/inlmath] prolazi kroz koordinatni pocetak, pa je njen oblik [inlmath]y=kx[/inlmath] [inlmath](n[/inlmath], odsecak na [inlmath]y[/inlmath]-osi, je [inlmath]0[/inlmath]). Sad sam odredio koordinate tacaka preseka prave [inlmath]y=kx[/inlmath] i prava [inlmath]l_1[/inlmath] (tacka [inlmath]A[/inlmath]) i [inlmath]l_2[/inlmath] (tacka [inlmath]B[/inlmath]). Koordinate tacke [inlmath]A[/inlmath] su [inlmath]A\left(\frac{1}{1+k},\frac{k}{1+k}\right)[/inlmath] i [inlmath]B\left(\frac{1}{1-k},\frac{k}{1-k}\right)[/inlmath]. Posto je tacka [inlmath]S[/inlmath] srediste duzi [inlmath]AB[/inlmath] njene koordinate su [inlmath]S\left(\frac{1}{1-k^2},\frac{k}{1-k^2}\right)[/inlmath]. Ne znam sta dalje...
Hvala unapred!

Dovde je dobro. Sada iz koordinata tačke [inlmath]S[/inlmath] izrazi [inlmath]k[/inlmath] preko [inlmath]x[/inlmath] i izrazi [inlmath]k[/inlmath] preko [inlmath]y[/inlmath]. Zatim izjednači ta dva izraza i dobićeš iracionalnu jednačinu čijim ćeš sređivanjem doći do tražene jednačine hiperbole.

Izrazio sam [inlmath]k[/inlmath] preko [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]k=\sqrt{\frac{x-1}{x}}[/inlmath], ali nisam preko [inlmath]y[/inlmath]. Dobijem kvadratnu jednačinu kod koje diskriminanta nije bas ''lepa'', da bih se oslobodio korena, mada ni to ne bi imalo nekog posebnog efekta

A ko je uopšte rekao da diskriminanta mora biti lepa? Biće tu nešto posla, ali dâ se izračunati. Slobodno izrazi [inlmath]k[/inlmath] preko [inlmath]y[/inlmath] rešavanjem odgovarajuće kvadratne jednačine, izjednači [inlmath]k[/inlmath]-ove i sredi dobijenu iracionalnu jednačinu.

Ili, ako tako više voliš, možeš [inlmath]k^2[/inlmath] izraziti preko [inlmath]x[/inlmath] i preko [inlmath]y[/inlmath] – isti đavo, ionako bi u slučaju da izraziš [inlmath]k[/inlmath] prvi korak bio kvadriranje, a ovako, sa [inlmath]k^2[/inlmath], taj prvi korak preskačeš.

Koji znak uzeti ispred korena diskriminante?

Nebitno. Ionako će se to posle kvadrirati.
Možeš staviti [inlmath]\pm[/inlmath], čisto radi korektnog zapisa.

Kad dodjemo do trazene jednacine hiperbole, zasto je potrebno dodatno proveravati da li svakaka tacka hiperbole zadovoljava uslove zadatka? Zar ih nismo postavili na samom pocetku zadatka?

Potrebno je postaviti uslov da se tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] ne poklapaju, kako bismo mogli govoriti o duži [inlmath]AB[/inlmath].
A na osnovu čega si ti to zaključio, da li imaš objašnjen postupak u rešenju?

Daniel je napisao:A na osnovu čega si ti to zaključio, da li imaš objašnjen postupak u rešenju?

Da, pa mi to nije najjasnije. Evo objašnjenja koji piše nakon dobijene jednačine hiperbole:
- Primetimo da se tačka [inlmath]O(0,0)[/inlmath], koja pripada toj hiperboli, dobija kao središte duzi koju date prave odsecaju na [inlmath]y[/inlmath]-osi. Lako se dokazuje da svaka tačka dobijene hiperbole predstavlja središte neke duzi [inlmath]AB[/inlmath].

Ovo je drugi deo rešenja. Prvi deo, kako doci do jednačine hiperbole, nisam pisao jer je manje-više sve objašnjeno u ovoj temi. Ovaj zadatak i nema neko detaljno objašnjenje kao neki drugi u kojima se takodje trazi GMT. U zadacima dodatno objašnjenje ne menja rešenje, ali ga opet iz nekog razloga pišu...