MATEMANIJA

(Izvinjavam se na čudno imenovanom naslovu)

U skorije vreme sam počeo da radim zadatke za prijemni za fakultet, i sada se već 3 sata mučim sa zadatkom (kojim iskreno ne treba da se mučim).

U zadatku mi je dato da postoji kružnica koja sadrži 3 tačke, 2 koje seku [inlmath]y[/inlmath] osu, i jednu koja seče [inlmath]x[/inlmath] osu.
Međutim, ja se mučim da napravim analitičku formulu kruga.
Npr, prva tačka, [inlmath]T_1(0,12)[/inlmath], druga, [inlmath]T_2(0,6)[/inlmath], a treća [inlmath]T_3(8,0)[/inlmath]

Prvim pokušajem koristim oblik
[dispmath]x^2+y^2+q\cdot x+p\cdot y-m=0[/dispmath] i pri zameni za tačke [inlmath]T_1[/inlmath] i [inlmath]T_2[/inlmath], dobijem prosti sistem jednačina
[dispmath]12^2+12p-m=0\\
6^2+6p-m=0[/dispmath] Odavde se lako dobije vrednost [inlmath]p[/inlmath];
međutim, koju god vrednost da stavim (radi primera, [inlmath]p=2[/inlmath])
kada pokušam da nađem [inlmath]m[/inlmath], dobijem konfliktne vrednosti;
[dispmath]M=168\\
M=48[/dispmath] Iskreno osećam se glupo zato što konstantno pravim jednu te istu grešku, a drugi pristup ne znam.

Kad uvrstiš kordinate datih tačaka u jednačinu kružnice [inlmath](x-p)^2+(y-q)^2=r^2[/inlmath] dobićeš sledeći sistem:
[dispmath]\begin{cases}
p^2+\left(12-q^2\right)=r^2\\
p^2+(6-q)^2=r^2\\
(8-p)^2+q^2=r^2
\end{cases}[/dispmath] gde su [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] koordinate centra kružnice a [inlmath]r[/inlmath] dužina poluprečnika kružnice.

Pozdrav! Dobro došao!
Sve pohvale sto vec od prvog posta koristiš Latex, i to vrlo dobro. Ova tema spada u Analitičku, a ne u aritmetiku, ali nema veze, premestiće je neko.
Da li bi mogao da napišeš kompletan tekst zadatka, od reči do reči? Ako kruznica seče [inlmath]x[/inlmath]-osu onda je mora seci i u još jednoj.
Ne mozes tek tako da ''lupis'' tri tačke i da budeš siguran da postoji kruznica koja prolazi kroz sve tri. Da bi se našla jednačina kruznice neophodne i dovoljne su tri tačke, ali ne bilo koje.

Čovek bez severa je napisao:Iskreno osećam se glupo zato što konstantno pravim jednu te istu grešku,

Nema potrebe da se osećaš tako.

Dobrodošlica i od mene.

Čovek bez severa je napisao:U zadatku mi je dato da postoji kružnica koja sadrži 3 tačke, 2 koje seku [inlmath]y[/inlmath] osu, i jednu koja seče [inlmath]x[/inlmath] osu.

Prvo, oko terminologije. Ne mogu tačke da seku [inlmath]x[/inlmath]-osu ili [inlmath]y[/inlmath]-osu. Tačke mogu da pripadaju ili da ne pripadaju nekoj od osa. Kružnica je ta koja može da seče ili da dodiruje (ili ništa od ta dva) neku od osa.
Jedno od pravila ovog foruma je da se uvek navede (umesto da se prepričava) tačan tekst zadatka (od reči do reči), pa bih zamolio da ga napišeš.

Čovek bez severa je napisao:[dispmath]12^2+12p-m=0\\
6^2+6p-m=0[/dispmath] Odavde se lako dobije vrednost [inlmath]p[/inlmath];
međutim, koju god vrednost da stavim (radi primera, [inlmath]p=2[/inlmath])
kada pokušam da nađem [inlmath]m[/inlmath], dobijem konfliktne vrednosti;

Naravno da dobiješ konfliktne vrednosti, jer ne možeš da staviš koju god hoćeš vrednost [inlmath]p[/inlmath]. Kako si i sâm napisao, iz ovog sistema se lako dobije vrednost [inlmath]p[/inlmath], i upravo tu vrednost [inlmath]p[/inlmath] (i nijednu drugu) treba da uvrstiš u neku od jednačina sistema kako bi našao i vrednost [inlmath]m[/inlmath].

Mada, preporučujem ti ovaj način koji ti je pokazao primus.
Za ove konkretne tri tačke, to se može još i pojednostaviti, budući da postoje dve tačke koje pripadaju [inlmath]y[/inlmath]-osi ([inlmath]x[/inlmath]-koordinate su im nule). Pošto centar kružnice mora pripadati simetrali bilo koje dve tačke te kružnice, a simetrala ove dve tačke je paralelna [inlmath]x[/inlmath]-osi i nalazi se tačno između te dve tačke, jasno je da će [inlmath]y[/inlmath]-koordinata centra kružnice biti jednaka aritmetičkoj sredini [inlmath]y[/inlmath]-koordinata ove dve tačke. Znači, jedan od tri parametra kružnice ([inlmath]p[/inlmath], [inlmath]q[/inlmath] i [inlmath]R[/inlmath]) time si već odredio.

primus je napisao:[dispmath]\begin{cases}
p^2+{\color{red}\left(12-q^2\right)}=r^2\\
p^2+(6-q)^2=r^2\\
(8-p)^2+q^2=r^2
\end{cases}[/dispmath]

Samo ispravka za ovo crveno, da ne bude zabune – treba da piše [inlmath](12-q)^2[/inlmath].

Frank je napisao:Da bi se našla jednačina kruznice neophodne i dovoljne su tri tačke, ali ne bilo koje.

Sasvim su dovoljne tri bilo koje različite tačke kružnice da bi kružnica bila određena. To je onda zapravo kružnica opisana oko trougla čija su temena te tačke (a znamo da se za svaki trougao može jednoznačno odrediti njegova opisana kružnica).

Frank je napisao:Ova tema spada u Analitičku, a ne u aritmetiku, ali nema veze, premestiće je neko.

Tačno. Premestio sam.

Izvinjavam se na pogrešnoj terminologiji, a zahvaljujem na premeštanju teme na pravilno mesto.

Tekst zadatka je "Krug sadrži tri tačke čije su koordinate [inlmath](0,6)[/inlmath], [inlmath](0,10)[/inlmath] i [inlmath](8,0)[/inlmath]. Traži se apscisa druge tačke u kojoj dati krug seče [inlmath]x[/inlmath]-osu"

Što se tiče primuseve metode, i tu dobijam konfliktujuće vrednosti.

nakon zamene vrednosti
[dispmath]p^2+(6-q)^2=r^2\\
p^2+(10-q)^2=r^2\\
(8-p)^2+q^2=r^2[/dispmath] Prvo sam tražio [inlmath]q[/inlmath] tako što sam oduzeo drugu jednačinu od prve, i dobio da je [inlmath]q=8[/inlmath]
[dispmath]p^2+(6-q)^2=p^2+(10-q)^2[/dispmath] Potom, da bi pronašao [inlmath]p[/inlmath], oduzeo sam drugu jednačinu od prve, i time sam dobio da je [inlmath]p=4[/inlmath]
[dispmath](8-p)^2+64=p^2+(10-8)^2\\
64-16p+p^2+64=p^2+100-160+64\\
16p=4[/dispmath] Pošto mi je jedina nepoznata [inlmath]r[/inlmath], ubacio sam vrednosti [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath], da bi dobio

Ispravka: nema konflikta sa primusovom metodom, već sam samo zaboravio da dodajem [inlmath]60[/inlmath], a ne oduzimam.

Hvala vam za pomoć

(A sebi ću za "domaći" ostaviti da vidim zašto kada radim sa drugom analitičkom formulom ne radi)

Čovek bez severa je napisao:[dispmath]\cdots=p^2+(10-8)^2\\
\cdots=p^2+100-160+64[/dispmath]

Zar ti je stvarno bilo lakše da razvijaš kvadrat binoma, umesto da lepo [inlmath]10-8[/inlmath] napišeš kao [inlmath]2[/inlmath] i digneš dvojku na kvadrat?

Da i ne;

Ja razumem da je konačna vrednost [inlmath]4[/inlmath], ali razvijeni kvadratni binom mi je izgledao kao da ima da se "skrati" sa drugom stranom, potom instiktom napišem verziju gde mogu da "skraćujem".