MATEMANIJA

Pozdrav svima,
Naisao sam na jedan problem pri radjenju zbirke prijemnih zadataka za Masinski fakultet.

On glasi: Zbir svih vrednosti realnog parametra [inlmath]m[/inlmath] za koji je prava [inlmath]2x+y+m=0[/inlmath] tangenta kruznice [inlmath](x-1)^2+(y-1)^2=4[/inlmath] je:
Resenje: [inlmath]-6[/inlmath]

Moj pokusaj: Posto nam je data jednacina kruga, iz toga sam dobio centar [inlmath]C(1,1)[/inlmath] i poluprecnik [inlmath]r=2[/inlmath]. Pa sam mislio da primenim onu formulu za odstojanje neke tacke (u ovom slucaju [inlmath]C[/inlmath]) od prave:
[dispmath]r=\frac{|2\cdot1+1\cdot1+m|}{\sqrt{2^2+1^2}}[/dispmath] Ali iz toga dobijem samo jedno resenje i to je da je [inlmath]m=2\sqrt5-3[/inlmath]. Pa pretpostavljam da to nije nacin onda na koji se radi zadatak, moze pomoc.

Zisti1912

Iz prve jednačine izrazi [inlmath]y[/inlmath] pa ga uvrsti u drugu jednačinu (jednačinu kružnice). Nakon toga postavi uslov da je diskriminanta jednačine po [inlmath]x[/inlmath] jednaka nuli.

[dispmath]r=\frac{|2\cdot1+1\cdot1+m|}{\sqrt{2^2+1^2}}\\
2=\frac{|3+m|}{\sqrt5}\\
|3+m|=2\sqrt5[/dispmath] Ovdje imamo dva slučaja: kad je podapsolutna vrijednost pozitivna i kad je negativna
[dispmath]3+m=2\sqrt5\quad\lor\quad3+m=-2\sqrt5\\
m_1=2\sqrt5-3\\
m_2=-2\sqrt5-3\\
\enclose{box}{m_1+m_2=-6}[/dispmath]