MATEMANIJA

Zdravo,
Zadatak glasi:
Date su tačke [inlmath]A(5,2)[/inlmath], [inlmath]B(-1,8)[/inlmath], [inlmath]C(-1,2)[/inlmath].

Zadatak je imao 3 podzahteva, od kojih mi 2 nisu skroz najjasnija:
- Odrediti ortocentar trougla [inlmath]ABC[/inlmath].

Prvo ću citirati njihovo rešenje:

Kako je trougao [inlmath]ABC[/inlmath] pravougli, sledi da je njegov ortocentar teme pravog ugla, tj. tačka [inlmath]C(-1,2)[/inlmath]

Pre svega, ne dobijam da je trougao pravougli, jer vidim da mi [inlmath]\left(AB\right)^2\ne\left(AC\right)^2+\left(CB\right)^2[/inlmath], već dobijem:
[dispmath]\sqrt{72}=\sqrt{36}+\sqrt{36}[/dispmath] što je netačno.
Kada otkrijem grešku u postupku, sledeće što me buni je ortocentar trougla. Znam da je to tačka u kojoj se seku sve visine trougla, ali kako bih to mogao da primenim ovde? Postoji li možda računski način kako se do toga dolazi, pošto konkretno ovde zbog čega je baš tačka [inlmath]C[/inlmath] ortocentar, iako je trougao pravougli?

Drugi podzahtev je bio da se odredi jednačina opisane kružnice oko trougla [inlmath]ABC[/inlmath]. Rešenje je [inlmath]\left(x-2\right)^2+\left(y-5\right)^2=18[/inlmath].

Kod ovog dela nemam ideju kako bih uopšte trebalo da započnem zadatak.

Hvala unapred.

Acim je napisao:Pre svega, ne dobijam da je trougao pravougli, jer vidim da mi [inlmath]\left(AB\right)^2\ne\left(AC\right)^2+\left(CB\right)^2[/inlmath], već dobijem:
[dispmath]\sqrt{72}=\sqrt{36}+\sqrt{36}[/dispmath] što je netačno.

Trougao jeste pravougli. To se vidi i sa slike.

Ovde si pogresio:

Acim je napisao:[dispmath]\sqrt{72}=\sqrt{36}+\sqrt{36}[/dispmath]

Treba:
[dispmath]72=36+36[/dispmath] (nisi kvadrirao)

Da je trougao pravougli može se konstatovati i na osnovu sledećeg:

• Tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] imaju jednake [inlmath]y[/inlmath]-koordinate [inlmath]\Longrightarrow[/inlmath] stranica [inlmath]AC[/inlmath] je paralelna s [inlmath]x[/inlmath]-osom;
• Tačke [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] imaju jednake [inlmath]x[/inlmath]-koordinate [inlmath]\Longrightarrow[/inlmath] stranica [inlmath]BC[/inlmath] je paralelna s [inlmath]y[/inlmath]-osom.

Odatle sledi da je [inlmath]AC\perp BC[/inlmath], tj. trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] je pravougli, s pravim uglom kod temena [inlmath]C[/inlmath].
(Takođe, vidi se da je trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] još i jednakokraki, jer je [inlmath]AC=BC[/inlmath], ali to nije od neke važnosti za rešavanje ovog zadatka.)

Acim je napisao:Kada otkrijem grešku u postupku, sledeće što me buni je ortocentar trougla. Znam da je to tačka u kojoj se seku sve visine trougla, ali kako bih to mogao da primenim ovde? Postoji li možda računski način kako se do toga dolazi, pošto konkretno ovde zbog čega je baš tačka [inlmath]C[/inlmath] ortocentar, iako je trougao pravougli?

Kod svakog pravouglog trougla ortocentar je ono teme tog trougla kod kojeg je prav ugao.
Da bi se u to uverio, spusti visine iz temena [inlmath]A[/inlmath] i iz temena [inlmath]B[/inlmath]. Videćeš da će podnožja obeju visina biti tačka [inlmath]C[/inlmath]. To jest, te dve visine se seku u tački [inlmath]C[/inlmath]. Visina iz tačke [inlmath]C[/inlmath] već po defaultu sadrži tačku [inlmath]C[/inlmath], što znači da sve visine sadrže tačku [inlmath]C[/inlmath], tj. da se u njoj seku [inlmath]\Longrightarrow[/inlmath] tačka [inlmath]C[/inlmath] je ortocentar posmatranog trougla.

Acim je napisao:Drugi podzahtev je bio da se odredi jednačina opisane kružnice oko trougla [inlmath]ABC[/inlmath]. Rešenje je [inlmath]\left(x-2\right)^2+\left(y-5\right)^2=18[/inlmath].

Kod pravouglog trougla centar opisane kružnice nalazi se na sredini hipotenuze (u ovo se možeš uveriti standardnom konstrukcijom centra opisane kružnice, za slučaj pravouglog trougla). Posledično, poluprečnik opisane kružnice jednak je polovini hipotenuze.