MATEMANIJA

4. Svesti na kanonski oblik krivu [inlmath]x^2+\sqrt3xy=y[/inlmath]

Zadatak znam da resim do dela kada dobijem jednacinu:
[dispmath]3x'^2-x'-y'^2+\sqrt3y'=0[/dispmath] U resenju pise da se to svodi na:
[dispmath]3\left(x'-\frac{1}{6}\right)^2-\left(y'+\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=-\frac{2}{3}[/dispmath] Uopste mi nije jasno kako smo do toga dosli
Hvala unapred

elenasdf je napisao:Zadatak znam da resim do dela kada dobijem jednacinu:
[dispmath]3x'^2-x'-y'^2+\sqrt3y'=0[/dispmath]

Umesto plusa kod poslednjeg člana treba da stoji minus, tj.
[dispmath]3x'^2-x'-y'^2{\color{red}-}\sqrt3y'=0[/dispmath] Da bi se sad ovo svelo na kanonski oblik, potrebno je članove koji sadrže svaku od promenljivih tako grupisati da možemo primeniti kvadrat binoma, [inlmath]a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2[/inlmath]. Konkretno, za promenljivu [inlmath]x'[/inlmath] to bi izgledalo ovako:
[dispmath]3x'^2-x'=3\left(x'^2-\frac{1}{3}x\right)=3\left(x'^2-2\cdot\frac{1}{6}x+\frac{1}{6^2}\right)-3\cdot\frac{1}{6^2}=3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2-\frac{1}{12}[/dispmath] Isto to uradiš i za promenljivu [inlmath]y'[/inlmath]. Sabiranjem slobodnih članova dobije se [inlmath]\frac{2}{3}[/inlmath], što kad pređe na desnu stranu daje ono [inlmath]-\frac{2}{3}[/inlmath] koje i piše u rešenju.