MATEMANIJA

Kako se rešavaju ovakve vrste zadataka? Uopšte nemam ideju kako bih započeo rešavanje, hvala unapred.


1. Površ data jednačinom [inlmath]x^2-2y+3z^2-4=0[/inlmath] je

A) jednodelni hiperboloid; B) dvodelni hiperboloid; C) eliptički paraboloid; D) hiperbolički paraboloid; E) eliptički konus; F) hiperbolički cilindar


2. Površ data jednačinom [inlmath]x^2-2y^2+4z^2+4xz=0[/inlmath] je

A) tačka; B) prava; C) ravan; D) dve ravni koje se seku; E) eliptički konus; F) elipsoid

2.
[dispmath]x^2-2y^2+4z^2+4xz=0\iff (x+2z)^2=2y^2\iff x+2z=y\sqrt{2} \lor x+2z=-y\sqrt{2}.[/dispmath] Data jednačina je ekvivalentna sa disjunkcijom linearnih jednačina. To su jednačine ravni koje nisu paralelne.

1.
[dispmath]x^2-2y+3z^2-4=0 \Longleftrightarrow y+2=\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{\frac{2}{3}}[/dispmath] Odgovor je C, eliptički paraboloid sa temenom u [inlmath]\left(0,-2,0\right)[/inlmath]

jans je napisao:To su jednačine ravni koje nisu paralelne.

I, mada se u zadatku ne traži, čisto da uzgred dodam i da presek ove dve ravni predstavlja pravu određenu sa [inlmath]x+2z=0[/inlmath] i [inlmath]y=0[/inlmath], što se direktno dobije iz jednačina ovih ravni. (Pri tome, sasvim je očigledno i da svaka od tih ravni mora sadržati koordinatni početak, jer ako bi se predstavile u obliku [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath], slobodan član [inlmath]D[/inlmath] bi bio jednak nuli.)

Jel može neko pojašnjenje kako dolazimo do takvih zaključaka? Jel ovo u pitanju rešavanje Diofantovih jednačina ili nešto slično? Još uvek se nisam detaljno bavio pojednostavljivanjem viševarijabilnih jednačina (doduše sistemi linearnih jednačina su, pretpostavljam, jako slični).

U principu, ono što me zanima je kako da znam koji 'tip' jednačine će predstavljati koje geometrijsko telo bez da jednačine učim napamet? Najjednostavniji primer: kod kvadratnih jednačina lako mogu da zamislim konačni grafik u zavisnosti od toga kog znaka je vrednost uz [inlmath]x^2[/inlmath] kao i koliko iznosi diskriminanta. Inače mi je analitička geometrija najmanje intuitivna oblast matematike, pa ukoliko imate neki savet ili resurs za razumevanje iste molim vas da predložite.

Usput se izvinjavam što kasno odgovaram na temu, zaboravio sam da je otvorena.

U udžbenicima analitičke geometrije postoji opisan postupak kako se svaki kvadratni polinom od tri promenljive može svesti na jedan od kanonskih oblika. Ti kanonski oblici su navedeni ovde.
Same oblike jednačina nije neophodno naučiti napamet, ako se zapamte sve površi, i stekne intuicija zašto određena jednačina daje određenu površ. Na linku je navedeno mnogo površi, ali zapravo postoji suštinski samo nekoliko klasa: elipsoid, cilindar (čija je "osnova" kriva drugog reda), paraboloid, jednograni i dvograni hiperboloid, unija dve ravni. Neki oblici koji su navedeni predstavljaju samo specijalne slučajeve (na primer sfera je elipsoid kome su sve ose jednake).

Površi se mogu često odrediti analizom (rekao bih dovijanjem), traženjem preseka, simetrije, itd... Za analizu je neophodna intuicija koju možeš razviti korišćenjem nekog softvera sa crtanje 3D površi (desmos, geogebra).

Na primer, jednačina [inlmath]x^2+y^2=2[/inlmath] u ravni određuje krug. Pogledajmo koju površ [inlmath]P[/inlmath] u prostoru određuje [inlmath]x^2+y^2=2[/inlmath]. Ako uzmemo bilo koju ravan oblika [inlmath]z=C[/inlmath] (ravan normalna na [inlmath]z[/inlmath] osu), onda zamenom [inlmath]z=C[/inlmath] u [inlmath]x^2+y^2=2[/inlmath] dobijamo isto [inlmath]x^2+y^2=2[/inlmath]. Što znači da je presek ravni i površi [inlmath]P[/inlmath] kružnica. Dakle imamo kružnice koje su "naslagane" jedna na drugu a to je cilindar čija je osa [inlmath]z[/inlmath] osa.

Drugi primer, šta određuje jednačina [inlmath]5x^2+3y^2-2z^2=1[/inlmath]? Prvo, ova površ se prostire u beskonačnost (preciznije nije ograničena), jer koliko god da su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] veliki, može se naći [inlmath]z[/inlmath] tako da jednačina bude zadovoljena (to se zaključuje tako što se [inlmath]z[/inlmath] izrazi preko [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]). Dakle nije elipsoid niti eliptički cilindar (jer je eliptički cilindar ograničen po dve ose). Presek površi sa ravni [inlmath]z=0[/inlmath] se dobija kada [inlmath]z=0[/inlmath] zamenimo u [inlmath]5x^2+3y^2-2z^2=1[/inlmath], što daje jednačinu elipse [inlmath]5x^2+3y^2=1[/inlmath]. Dakle presek je elipsa, pa ovo ne može biti hiperbolički ili parabolički cilindar. Ostaje još hiperboloid i paraboloidi. Ako [inlmath](x_0, y_0, z_0)[/inlmath] zadovoljava [inlmath]5x^2+3y^2-2z^2=1[/inlmath], onda i [inlmath](-x_0, y_0, z_0)[/inlmath], [inlmath](x_0, -y_0, z_0)[/inlmath] i [inlmath](x_0, y_0, -z_0)[/inlmath] zadovoljavju ovu jednačinu, što znači da ova površ je simetrična u odnosu na tri koordinatne ravni. Dakle ne može biti paraboloid. I na kraju, presek sa ravni [inlmath]y=0[/inlmath] nam daje odgovor o kojoj vrsti hiperboloida se ovde radi.

Moglo je i ovo kraće, dva preseka su bila dovoljna, ali sam hteo da vidiš različite argumente.

U dva zadatka koje su fare i jans rešili, do kanonskog oblika se došlo prostim premeštanjem i grupisanjem članova. Pretpostavljam da ćeš dobijati ovakve zadatke. Ali u opštem slučaju, površi mogu biti rotirane u odnosu na kanonske oblike, i onda je potrebno dijagonalizovati matricu kvadratne forme...