Izvođenje formula za uslov dodira
Poslato: Nedelja, 16. Mart 2014, 01:24Meni su najteže formule za pamćenje bile formule za uslov dodira, jer ni na prvi, a ni na drugi pogled, nemaju nikakvog smisla. Srećom, postoji veoma lak i jasan način da se do njih dođe izvođenjem i korišćenjem osnovnih formula u analitičkoj geometriji.
Možemo primetiti da je svaka prava udaljena za poluprečnik, od centra kružnice. Dakle, možemo reći da je uslov dodira prave i kružnice u stvari sledeći: razdaljina prave od centra kružnice mora biti jednaka poluprečniku kružnice.
E, sad, da prevedemo to na jezik matematike.
Pre svega, da biste izvukli ovu formulu, trebalo bi da znate sledeće osnovne formule:
Formula za računanje razdaljine prave od tačke:
[dispmath]d(p,A)=\frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/dispmath]
Naša prava će biti prava [inlmath]p_1[/inlmath], a tačka [inlmath]A(x_A,y_A)[/inlmath] će biti centar kružnice [inlmath]C[/inlmath].
Jednačina implicitnog oblika prave:
[dispmath]ax+by+c=0[/dispmath]
Izvlačenje formule za uslov dodira:
1) Dakle, imamo pravu [inlmath]p_1:\:y=kx+n[/inlmath]. Prvo ćemo je prebaciti u implicitni oblik [inlmath]p_1:\:-kx+y-n=0[/inlmath]. Analogno opštoj formuli za implicitni oblik prave, možemo naći sledeće parametre:
[dispmath]a=-k\\
b=1\\
c=-n[/dispmath]
2) Kao što smo rekli, tačka u odnosu na koju "merimo" udaljenost prave [inlmath]p_1[/inlmath] će biti centar kružnice [inlmath]C(p,q)[/inlmath].
3) Sada ćemo ove podatke uvrstiti u opštu formulu za računanje razdaljine prave od tačke, gde će naša prava biti prava [inlmath]p_1[/inlmath], naša tačka biti tačka [inlmath]C[/inlmath], a njihova razdaljina poluprečnik [inlmath]r[/inlmath].
[dispmath]r=\frac{|-kp+q-n|}{\sqrt{(-k)^2+1^2}}[/dispmath][dispmath]r=\frac{|-kp+q-n|}{\sqrt{k^2+1}}[/dispmath][dispmath]r\cdot\sqrt{k^2+1}=|-kp+q-n|[/dispmath]
[dispmath]\enclose{box}{r^2\cdot\left(k^2+1\right)=(-kp+q-n)^2}[/dispmath]
Kod elipse koristimo drugu, ali takođe veoma jednostavnu logiku. Prisetimo se kakvog efekta ima rešavanje sistema dve krive. Rešavajući takav sistem, dobijamo tačku ili tačke preseka te dve krive. Hajdemo da u jednačinu elipse [inlmath]E:\:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/inlmath] uvrstimo jednačinu prave [inlmath]p_1:\:y=kx+n[/inlmath], dobićemo sledeće:
[dispmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{(kx+n)^2}{b^2}=1[/dispmath][dispmath]\frac{x^2 b^2}{a^2 b^2}+\frac{(kx+n)^2a^2}{a^2b^2}=1[/dispmath][dispmath]\frac{x^2b^2+(kx+n)^2a^2}{a^2b^2}=1[/dispmath][dispmath]x^2b^2+(kx+n)^2a^2=a^2b^2[/dispmath][dispmath]x^2b^2+\left(k^2x^2+2kxn+n^2\right)a^2=a^2b^2[/dispmath][dispmath]x^2b^2+k^2x^2a^2+2kxna^2+n^2a^2-a^2b^2=0[/dispmath][dispmath]\left(b^2+k^2a^2\right)x^2+\left(2kna^2\right)x+\left(n^2a^2-a^2b^2\right)=0[/dispmath]
Da bi prava bila tangenta, mora imati samo jednu dodirnu tačku sa krivom, što znači da ova naša jednačina treba ispunjavati uslov [inlmath]D=0[/inlmath], kako bi se prava [inlmath]p_1[/inlmath] i elipsa [inlmath]E[/inlmath] sekle u jednoj tački.
[dispmath]0=\left(2kna^2\right)^2-4\cdot\left(b^2+k^2a^2\right)\left(n^2a^2-a^2b^2\right)[/dispmath][dispmath]0=4k^2n^2a^4-4\cdot\left(b^2n^2a^2-a^2b^4+k^2n^2a^4-k^2a^4b^2\right)[/dispmath][dispmath]0=\cancel{4k^2n^2a^4}-4b^2n^2a^2+4a^2b^4-\cancel{4k^2n^2a^4}+4k^2a^4b^2\quad /:4[/dispmath][dispmath]0=-b^2n^2a^2+a^2b^4+k^2a^4b^2\quad /:a^2b^2[/dispmath][dispmath]0=-n^2+b^2+k^2a^2[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{b^2+k^2a^2=n^2}[/dispmath]
Priča je potpuno ista za hiperbolu (naravno, jedina razlika je minus u jednačini hiperbole).
Isti princip kao kod elipse i hiperbole. Ubacujemo jednačinu prave [inlmath]p_1:\:y=kx+n[/inlmath] u jednačinu parabole [inlmath]P:\:y^2=2px[/inlmath]:
[dispmath](kx+n)^2=2px[/dispmath][dispmath]k^2x^2+2kxn+n^2=2px[/dispmath][dispmath]k^2x^2+2kxn+n^2-2px=0[/dispmath][dispmath]\left(k^2\right)x^2+(2kn-2p)x+n^2=0[/dispmath]
Važi uslov [inlmath]D=b^2-4ac=0[/inlmath], pri čemu je:
[dispmath]a=k^2\\
b=2kn-2p\\
c=n^2[/dispmath][dispmath]0=(2kn-2p)^2-4k^2n^2[/dispmath][dispmath]0=\cancel{4k^2n^2}-8knp+4p^2-\cancel{4k^2n^2}\quad /:4[/dispmath][dispmath]0=-2knp+p^2[/dispmath][dispmath]p^2=2knp\quad /:p[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{p=2kn}[/dispmath]
To bi bilo to. Neka izvlačenja su malo duža, ali imajte na umu da ste sa deset formula koje morate upamtiti spali na šest, a pritom ste eliminisali one koje imaju najmanje logike, pardon, nemaju nimalo logike
Čak sam išao do toga da merim vreme neophodno za izvlačenje ovih formula, kako bih ustanovio koliko bih vremena izgubio na prijemnom i dobio da mi za kružnicu treba oko dva i po minuta, elipsu i hiperbolu oko četiri i po minuta i parabolu oko dva i po minuta, dakle, ništa strašno.
Kružnica
- Tangente kružnice
- q3ss.png (9.21 KiB) Pogledano 48186 puta
Možemo primetiti da je svaka prava udaljena za poluprečnik, od centra kružnice. Dakle, možemo reći da je uslov dodira prave i kružnice u stvari sledeći: razdaljina prave od centra kružnice mora biti jednaka poluprečniku kružnice.
E, sad, da prevedemo to na jezik matematike.
Pre svega, da biste izvukli ovu formulu, trebalo bi da znate sledeće osnovne formule:
Formula za računanje razdaljine prave od tačke:
[dispmath]d(p,A)=\frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/dispmath]
Naša prava će biti prava [inlmath]p_1[/inlmath], a tačka [inlmath]A(x_A,y_A)[/inlmath] će biti centar kružnice [inlmath]C[/inlmath].
Jednačina implicitnog oblika prave:
[dispmath]ax+by+c=0[/dispmath]
Izvlačenje formule za uslov dodira:
1) Dakle, imamo pravu [inlmath]p_1:\:y=kx+n[/inlmath]. Prvo ćemo je prebaciti u implicitni oblik [inlmath]p_1:\:-kx+y-n=0[/inlmath]. Analogno opštoj formuli za implicitni oblik prave, možemo naći sledeće parametre:
[dispmath]a=-k\\
b=1\\
c=-n[/dispmath]
2) Kao što smo rekli, tačka u odnosu na koju "merimo" udaljenost prave [inlmath]p_1[/inlmath] će biti centar kružnice [inlmath]C(p,q)[/inlmath].
3) Sada ćemo ove podatke uvrstiti u opštu formulu za računanje razdaljine prave od tačke, gde će naša prava biti prava [inlmath]p_1[/inlmath], naša tačka biti tačka [inlmath]C[/inlmath], a njihova razdaljina poluprečnik [inlmath]r[/inlmath].
[dispmath]r=\frac{|-kp+q-n|}{\sqrt{(-k)^2+1^2}}[/dispmath][dispmath]r=\frac{|-kp+q-n|}{\sqrt{k^2+1}}[/dispmath][dispmath]r\cdot\sqrt{k^2+1}=|-kp+q-n|[/dispmath]
[dispmath]\enclose{box}{r^2\cdot\left(k^2+1\right)=(-kp+q-n)^2}[/dispmath]
Elipsa/Hiperbola
Kod elipse koristimo drugu, ali takođe veoma jednostavnu logiku. Prisetimo se kakvog efekta ima rešavanje sistema dve krive. Rešavajući takav sistem, dobijamo tačku ili tačke preseka te dve krive. Hajdemo da u jednačinu elipse [inlmath]E:\:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/inlmath] uvrstimo jednačinu prave [inlmath]p_1:\:y=kx+n[/inlmath], dobićemo sledeće:
[dispmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{(kx+n)^2}{b^2}=1[/dispmath][dispmath]\frac{x^2 b^2}{a^2 b^2}+\frac{(kx+n)^2a^2}{a^2b^2}=1[/dispmath][dispmath]\frac{x^2b^2+(kx+n)^2a^2}{a^2b^2}=1[/dispmath][dispmath]x^2b^2+(kx+n)^2a^2=a^2b^2[/dispmath][dispmath]x^2b^2+\left(k^2x^2+2kxn+n^2\right)a^2=a^2b^2[/dispmath][dispmath]x^2b^2+k^2x^2a^2+2kxna^2+n^2a^2-a^2b^2=0[/dispmath][dispmath]\left(b^2+k^2a^2\right)x^2+\left(2kna^2\right)x+\left(n^2a^2-a^2b^2\right)=0[/dispmath]
Da bi prava bila tangenta, mora imati samo jednu dodirnu tačku sa krivom, što znači da ova naša jednačina treba ispunjavati uslov [inlmath]D=0[/inlmath], kako bi se prava [inlmath]p_1[/inlmath] i elipsa [inlmath]E[/inlmath] sekle u jednoj tački.
[dispmath]0=\left(2kna^2\right)^2-4\cdot\left(b^2+k^2a^2\right)\left(n^2a^2-a^2b^2\right)[/dispmath][dispmath]0=4k^2n^2a^4-4\cdot\left(b^2n^2a^2-a^2b^4+k^2n^2a^4-k^2a^4b^2\right)[/dispmath][dispmath]0=\cancel{4k^2n^2a^4}-4b^2n^2a^2+4a^2b^4-\cancel{4k^2n^2a^4}+4k^2a^4b^2\quad /:4[/dispmath][dispmath]0=-b^2n^2a^2+a^2b^4+k^2a^4b^2\quad /:a^2b^2[/dispmath][dispmath]0=-n^2+b^2+k^2a^2[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{b^2+k^2a^2=n^2}[/dispmath]
Priča je potpuno ista za hiperbolu (naravno, jedina razlika je minus u jednačini hiperbole).
Parabola
Isti princip kao kod elipse i hiperbole. Ubacujemo jednačinu prave [inlmath]p_1:\:y=kx+n[/inlmath] u jednačinu parabole [inlmath]P:\:y^2=2px[/inlmath]:
[dispmath](kx+n)^2=2px[/dispmath][dispmath]k^2x^2+2kxn+n^2=2px[/dispmath][dispmath]k^2x^2+2kxn+n^2-2px=0[/dispmath][dispmath]\left(k^2\right)x^2+(2kn-2p)x+n^2=0[/dispmath]
Važi uslov [inlmath]D=b^2-4ac=0[/inlmath], pri čemu je:
[dispmath]a=k^2\\
b=2kn-2p\\
c=n^2[/dispmath][dispmath]0=(2kn-2p)^2-4k^2n^2[/dispmath][dispmath]0=\cancel{4k^2n^2}-8knp+4p^2-\cancel{4k^2n^2}\quad /:4[/dispmath][dispmath]0=-2knp+p^2[/dispmath][dispmath]p^2=2knp\quad /:p[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{p=2kn}[/dispmath]
To bi bilo to. Neka izvlačenja su malo duža, ali imajte na umu da ste sa deset formula koje morate upamtiti spali na šest, a pritom ste eliminisali one koje imaju najmanje logike, pardon, nemaju nimalo logike
Čak sam išao do toga da merim vreme neophodno za izvlačenje ovih formula, kako bih ustanovio koliko bih vremena izgubio na prijemnom i dobio da mi za kružnicu treba oko dva i po minuta, elipsu i hiperbolu oko četiri i po minuta i parabolu oko dva i po minuta, dakle, ništa strašno.