U korpi se nalazi [inlmath]n[/inlmath] mačića. Izvlače se jedno po jedno (recimo, da bismo ih nahranili ).
Verovatnoća da je [inlmath]i[/inlmath]-to mače muškog pola iznosi [inlmath]p_i[/inlmath] a da je ženskog pola iznosi [inlmath]q_i[/inlmath].
Pri tome je [inlmath]p_i+q_i=1[/inlmath].
Hteo sam da odredim verovatnoću da je bar jedno mače muškog pola. To zaista nije problem, na tu temu bar jednom bilo je diskusije.
Drugo mi je nešto palo na pamet. Da ubacim i elemente statistike. Mačićima je svejedno, bitno im je da klopaju .
Recimo da svaku (različitu!) verovatnoću da je mače muškog pola, tj. [inlmath]p_i[/inlmath], zamenim aritmetičkom sredinom svih verovatnoća:
[dispmath]p=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^np_i[/dispmath]
Ovo se u matematičkoj statistici uobičajeno naziva osrednjavanjem.
U prvom slučaju (s različitim verovatnoćama) tražena verovatnoća događaja da je bar jedno mače muškog pola zapisuje se preko proizvoda (produkta). U drugom slučaju (s istim verovatnoćama) preko sume, pa još stepenovane.
Ne bih još da zapisujem to formalno, samo pitam:
Koja je verovatnoća da je bar jedno mače muškog pola od ove dve veća, tj. da li bez osrednjavanja ili s osrednjavanjem?

p.s. Potrebno je pri ovome imati na umu da je geometrijska sredina manja od aritmetičke. Npr:
[dispmath]\sqrt{1\cdot9}<\frac{1}{2}\cdot(1+9)[/dispmath]

Evo i malog pojašnjenja zadatka.
Ovde su zadate, tj. poznate verovatnoće [inlmath]p_i[/inlmath] (da je pojedinačno mače muško), kao i verovatnoće [inlmath]q_i[/inlmath] (da je pojedinačno mače žensko). U opštem slučaju sve ove verovatnoće su različite, pri čemu je [inlmath]i=1,2,3,\ldots,n[/inlmath]. Dakle, ukupno je [inlmath]n[/inlmath] mačića. Teoretski, mogu biti svi muškog pola, ili da ih je [inlmath]n-1[/inlmath] muškog pola i jedno ženskog pola, ili..., ili da su svih [inlmath]n[/inlmath] ženskog pola.
Svako mače je ili muškog ili ženskog pola, pa je zato: [inlmath]p_i+q_i=1[/inlmath] za svako [inlmath]i[/inlmath].
Neka su događaji:
[inlmath]A:[/inlmath] Bar jedno mače je muškog pola, pri čemu su verovatnoće za pojedinačno mače različite, tj. pomenuto [inlmath]p_i[/inlmath] da je mače muško i [inlmath]q_i[/inlmath] da je žensko.
[inlmath]B:[/inlmath] Bar jedno mače je muškog pola, pri čemu su verovatnoće za pojedinačno mače iste i iznose [inlmath]p[/inlmath] odnosno [inlmath]q[/inlmath], pri čemu je ovo dobijeno osrednjavanjem:
[dispmath]p=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^np_i\qquad p+q=1[/dispmath]
Potrebno je dokazati da je:
[dispmath]P(A)>P(B)[/dispmath]
Mislim da je jasno ovo:
[dispmath]P(A)=1-\prod_{i=1}^n(1-p_i)[/dispmath][dispmath]P(B)=1-\left(1-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^np_i\right)^n[/dispmath]
Ako nije, razjasnićemo i to.
Ali kako dalje? Ponovo naglašavam, potrebno je dokazati da je geometrijska sredina manja od aritmetičke, to je put kojim sam uspeo ovo da dokažem. Mada možda ima i drugih načina, ko ne voli statistiku

Zadatak sam smišljao dok sam hranio mačiće. Ne setih se da pitam veterinara za pol, no ovako je, mislim, interesantnije
A evo i grafičke interpretacije:


Eto, ja za ovo troje procenjujem (odokativnim i ostalim "naučnim" metodama) da su verovatnoće:
[dispmath]p_1=0.6\quad q_1=0.4\qquad p_2=0.5\quad q_2=0.5\qquad p_3=0.1\quad q_3=0.9[/dispmath]
Ovo zato što je treće (između ruku na slici) najumiljatije. A to su, na osnovu mog prethodnog iskustva, uglavnom ženski mačići. Zato pretpostavih [inlmath]q_3=0.9[/inlmath]
I, da završim ovaj numerički primer:
[dispmath]p=0.4\quad q=0.6\quad P(A)=0.820\quad P(B)=0.784[/dispmath]

Moja ideja se sastoji u sledećem:
[dispmath]\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n(1-p_i)}<\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(1-p_i)[/dispmath]
To jest, geometrijska sredina je manja od aritmetičke.
Ovo se može dokazati, no baš i nije lako.
Dalje je:
[dispmath]\prod_{i=1}^n(1-p_i)<\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(1-p_i)\right)^n[/dispmath]
Odavde evidentno sledi [inlmath]P(A)>P(B)[/inlmath]

Uostalom, evo i kompletnog dokaza:
[dispmath]\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n(1-p_i)}<\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(1-p_i)[/dispmath][dispmath]\prod_{i=1}^n(1-p_i)<\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(1-p_i)\right)^n[/dispmath][dispmath]\prod_{i=1}^n(1-p_i)<\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n1-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^np_i\right)^n[/dispmath][dispmath]\prod_{i=1}^n(1-p_i)<\left(\frac{1}{n}\cdot n-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^np_i\right)^n[/dispmath][dispmath]\prod_{i=1}^n(1-p_i)<\left(1-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^np_i\right)^n[/dispmath][dispmath]-\prod_{i=1}^n(1-p_i)>-\left(1-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^np_i\right)^n[/dispmath][dispmath]1-\prod_{i=1}^n(1-p_i)>1-\left(1-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^np_i\right)^n[/dispmath][dispmath]P(A)>P(B)[/dispmath]
Ponavljam, početni korak zasnovan je na činjenici da je geometrijska sredina brojeva manja od aritmetičke.
I to bih dokazao, no to je "tema za neku drugu temu".