MATEMANIJA

Radim ovaj zadatak, ali me zbunjuje nešto, pa ako neko može da pomogne.

Neka slučajni vektor [inlmath](X,Y)[/inlmath] ima zajedničku gustinu [dispmath]f(x,y)=\begin{cases}
2, & 0<x<1, & 0<y<x\\
0, & \mbox{inače}
\end{cases}[/dispmath]
Naći marginalne gustine slučajnih promenljivih [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]Y[/inlmath].

U kom intervalu treba da tražim marginalnu gustinu [inlmath]f_X(x)[/inlmath]?
U kom intervalu treba da tražim marginalnu gustinu [inlmath]f_Y(y)[/inlmath]?

Hvala.

Lakše je sa slikom.


Sa slike vidimo da bi granice za [inlmath]f_X(x)[/inlmath] bile od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]x[/inlmath], a granice za [inlmath]f_Y(y)[/inlmath] bi bile od [inlmath]y[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath].

Hvala za sliku.

U kom intervalu bi trebalo integraliti matematička očekivanja [inlmath]E(X)[/inlmath] i [inlmath]E(Y)[/inlmath]?

Pošto je [inlmath]E\left(X\right)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}xf\left(x\right)\mathrm dx[/inlmath], kada napišeš tačne rezultate za marginalne gustine [inlmath]f_X(x)[/inlmath] i [inlmath]f_Y(y)[/inlmath], biće sasvim očigledno koje granice integraljenja uzimaš pri određivanju matematičkih očekivanja.

Dakle, šta dobiješ kao rešenja za [inlmath]f_X(x)[/inlmath] i [inlmath]f_Y(y)[/inlmath]?

[dispmath]f_X(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x,y)\mathrm dy=\int\limits_0^x 2\mathrm dy=2x[/dispmath][dispmath]f_Y(y)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x,y)\mathrm dx=\int\limits_y^1 2\mathrm dx=2(1-y)[/dispmath]
Dakle, granice su [inlmath]0<x<1[/inlmath] i [inlmath]0<y<1[/inlmath].

Dakle, dobijeno rešenje za [inlmath]f_X\left(x\right)[/inlmath] važi za [inlmath]x\in\left(0,1\right)[/inlmath], a za [inlmath]f_Y\left(y\right)[/inlmath] važi za [inlmath]y\in\left(0,1\right)[/inlmath]. Van odgovarajućih intervala marginalne gustine su nula. To jest,
[dispmath]f_X\left(x\right)=\begin{cases}
2x, & 0<x<1\\
0, & \mbox{inače}
\end{cases},\qquad f_Y\left(y\right)=\begin{cases}
2\left(1-y\right), & 0<y<1\\
0, & \mbox{inače}
\end{cases}[/dispmath]
Prema tome, granice integraljenja pri određivanju matematičkih očekivanja biće od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath].

Uradila sam ovaj zadatak, ali ne znam da li je sve ispravno, ako može da se pogleda. Hvala.

Gustina raspodele slučajnog vektora [inlmath](X,Y)[/inlmath] data je sa:
[dispmath]f(x,y)=\begin{cases} Cxy, & 0<x<1, & 0<y<1\\ 0, & \mbox{inače} \end{cases}[/dispmath]
a) Odrediti vrednost konstante [inlmath]C[/inlmath];
b) Naći matematičko očekivanje [inlmath]EX[/inlmath] slučajne promenljive [inlmath]X[/inlmath];
c) Naći raspodelu slučajne promenljive [inlmath]Z=X^2[/inlmath].

a) [dispmath]\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty f(x,y)\mathrm dx\mathrm dy=\int\limits_0^1\int\limits_0^1Cxy\mathrm dx\mathrm dy=1[/dispmath][dispmath]C\int\limits_0^1x\left(\int\limits_0^1y\mathrm dy\right)\mathrm dx=1[/dispmath][dispmath]C\int\limits_0^1x\frac{1}{2}\mathrm dx=1[/dispmath][dispmath]C\frac{1}{4}=1,\;\enclose{box}{C=4}[/dispmath]
b) [dispmath]f_X(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x,y)\mathrm dy=\int\limits_0^14xy\mathrm dy=4x\int\limits_0^1y\mathrm dy=4x\frac{1}{2}=2x[/dispmath][dispmath]E(X)=\int\limits_{-\infty}^\infty xf(x)\mathrm dx=\int\limits_0^1x2x\mathrm dx=2\int\limits_0^1x^2\mathrm dx=\enclose{box}{\frac{2}{3}}[/dispmath]
c) [dispmath]F_Z(z)=P(Z\le z)=P\left(X^2\le z\right)=P\left(-\sqrt z\le X\le\sqrt z\right)=F_X\left(\sqrt z\right)-\cancelto{0}{F_X\left(-\sqrt z\right)}[/dispmath][dispmath]F_Z(z)=F_X\left(\sqrt z\right)[/dispmath]
Znamo [inlmath]f_X(x)=2x[/inlmath]. Sledi:
[dispmath]F_X(x)=\int\limits_{-\infty}^xf_X(x)\mathrm dx=\int\limits_0^x2x\mathrm dx=x^2;\;0<x<1[/dispmath][dispmath]F_X(x)=0,\;x\le 0[/dispmath][dispmath]F_X(x)=1,\;x\ge 1[/dispmath]
[inlmath]0<\sqrt z<1[/inlmath] je [inlmath]0<z<1[/inlmath]. Rešenje je:
[dispmath]F_Z(z)=\begin{cases}
0, & z\le 0\\
z, & 0<z<1\\
1, & z\ge 1
\end{cases}[/dispmath]

Sve OK.