MATEMANIJA

Možda ste nekada bacali pet kockica odjednom. Recimo, igrali ste jamb. Da krenem sa nečim laganim: kolika je verovatnoća da se baci pet kockica i dobije pet šestica? Naravno, odgovor je [inlmath]\left(\frac{1}{6}\right)^5=\frac{1}{7776}[/inlmath]. Ovo je nešto kao zagrevanje. Da vidimo sada i zadatak:

Koliko puta treba baciti [inlmath]5[/inlmath] homogenih kockica da bi se sa verovatnoćom ne manjom od [inlmath]0.99[/inlmath] bar jednom dobilo svih [inlmath]5[/inlmath] šestica?

Ovo "homogenih" znači da svaka strana jedne kocke ima istu šansu da se pojavi u jednom bacanju. Ako se to i ne napiše u zadatku, trebalo bi podrazumevati. Dalje, "ne manjom" znači "većom ili jednakom". A ovo "bar jednom" otežava zadatak. To će reći ili jednom, ili dva puta, ili tri puta ili ... ko zna koliko puta. Neka je otežano, lako se olakšava: suprotan iskaz (ili suprotan događaj u teoriji verovatnoće) od "bar jednom" je "nijednom". Često se prilikom rešavanja zadataka ide na suprotan događaj, u slučajevima kada je brže ili lakše izračunati njegovu verovatnoću od verovatnoće traženog događaja. Pri tome se verovatnoća nekog događaja i verovatnoća njemu suprotnog događaja dopunjavaju do jedinice. Razmišljamo ovako: verovatnoća da u jednom bacanju [inlmath]5[/inlmath] kockica ne izađu svih [inlmath]5[/inlmath] šestica je [inlmath]\frac{7775}{7776}[/inlmath]. Onda, verovatnoća da u [inlmath]n[/inlmath] bacanja nijednom ne izađe svih [inlmath]5[/inlmath] šestica je [inlmath]\left(\frac{7775}{7776}\right)^n[/inlmath]. Verovatnoća da u [inlmath]n[/inlmath] bacanja bar jednom izađe svih [inlmath]5[/inlmath] šestica je dopuna do [inlmath]1[/inlmath] to jest: [inlmath]1-\left(\frac{7775}{7776}\right)^n[/inlmath] tako da sada možemo uraditi zadatak, odnosno naći traženi broj bacanja [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]1-\left(\frac{7775}{7776}\right)^n\ge0.99[/dispmath][dispmath]\left(\frac{7775}{7776}\right)^n\le0.01[/dispmath][dispmath]n\cdot\ln\left(\frac{7775}{7776}\right)\le\ln(0.01)[/dispmath][dispmath]n\ge\frac{\ln(0.01)}{\ln\left(\frac{7775}{7776}\right)}[/dispmath][dispmath]n\ge35807.5007[/dispmath]
Ovde ćemo usvojiti prvi veći ceo broj, tako da zaklučak glasi:

Potrebno je bar [inlmath]35808[/inlmath] puta baciti [inlmath]5[/inlmath] homogenih kockica da bi se sa verovatnoćom ne manjom od [inlmath]0.99[/inlmath] bar jednom dobilo svih [inlmath]5[/inlmath] šestica.

Rezultat deluje iznenađujuće. Rekao bih čak paradoksalno. Da li je moguće da je potrebno skoro [inlmath]36000[/inlmath] puta bacati pet kockica da se (doduše sa velikom verovatnoćom) bar jednom dobiju svih [inlmath]5[/inlmath] šestica? Kako biste ovo objasnili sa aspekta čisto logičkog razmišljanja? Ako ste nekada igrali jamb, verujem da ste viđali kako neko (ili vi, uostalom) dobije "iz ruke" pet šestica, iz svakako ne ovolikog broja bacanja. Da li to znači da postulati i premise teorije verovatnoće padaju u vodu?

Rezultat na prvi pogled zaista izgleda ogroman, ali zapravo i nije. U pitanju je zaista vrlo, vrlo malo verovatan događaj. Ja sam u životu odigrao solidan broj partija jamba, pa ipak nešto ne mogu da se setim da sam ikad video da je neko dobio iz ruke ne jamb šestica, već bilo koji jamb. (BTW ako sam dobro izračunao, da bi se s verovatnoćom ne manjom od [inlmath]0,99[/inlmath] bar jednom dobio bilo koji jamb iz ruke, potrebno je ne manje od [inlmath]5966[/inlmath] bacanja.)

Ali, računajmo ovako. Po jednoj partiji, po jednom igraču, ima ukupno [inlmath]48[/inlmath] bacanja pet kockica iz ruke. Recimo da u jednoj partiji prosečno učestvuje troje igrača, to je onda [inlmath]144[/inlmath] bacanja iz ruke po jednoj partiji. Ako imamo ekipu od troje jamb-fanatika, koji odigraju po jednu partiju svako veče, oni će za manje od godinu dana (između osam i devet meseci) dostići tu famoznu brojku od [inlmath]35808[/inlmath] bacanja i, samim tim, i verovatnoću ne manju od [inlmath]0,99[/inlmath] da će bar neko od njih bar jednom u tom periodu dobiti iz ruke jamb šestica. Po meni je to fascinantno, imajući u vidu koliko je zaista mala verovatnoća dobijanja jamba šestica iz ruke, a koliko je, s druge strane, [inlmath]0,99[/inlmath] visoka verovatnoća.