MATEMANIJA

Ovaj zadatak me je svojevremeno jako zainteresovao:

Slučajna tačka [inlmath](X,Y)[/inlmath] je ravnomerno raspoređena unutar kruga poluprečnika [inlmath]a[/inlmath]. Naći matematičko očekivanje rastojanja tačke od centra kruga.

Nije ovo teško. Naime, oblast integracije [inlmath]D[/inlmath] je centralni krug poluprečnika [inlmath]a[/inlmath] pri čemu je [inlmath]K[/inlmath] slučajna promenljiva koja predstavlja rastojanje a gustina raspodele je (po mojoj pretpostavci) "jedan kroz površina kruga", tako da je matematičko očekivanje:
[dispmath]E(K)=\iint\limits_D\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{a^2\pi}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{2}{3}a[/dispmath]
Ja sam to onda hteo da uopštim.

U prostoru [inlmath]R^3[/inlmath] koristio sam trojni integral i za gustinu raspodele "jedan kroz zapremina lopte". Naravno da je onda:
[dispmath]E(K)=\iiint\limits_V3\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{4\pi a^3}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\frac{3}{4}a[/dispmath]
E sad, kad može Riman (Bernhard Riemann) aj' i ja da postavim hipotezu:

U prostoru [inlmath]R^n[/inlmath] matematičko očekivanje rastojanja iznosi:
[dispmath]E(K)=\frac{n}{n+1}a[/dispmath]
Pri tome evidentno [inlmath]E(K)[/inlmath] teži [inlmath]a[/inlmath] kada [inlmath]n[/inlmath] teži beskonačnosti.
p.s. Možda preterujem s ovim beskonačnim prostorima, slobodno kažite
p.p.s. Voleo bih da se neko zainteresuje za ovo .

desideri je napisao:a gustina raspodele je (po mojoj pretpostavci) "jedan kroz površina kruga"

Zbog čega „po tvojoj pretpostavci“? Nije to samo pretpostavka, lako se dokazuje da to jeste tako. Pošto je verovatnoća da se data tačka nađe unutar kruga jednaka jedinici,
[dispmath]P=\int\limits_{\Large\circ}f\left(A\right)\mathrm dA=1[/dispmath]
a rečeno je da je tačka ravnomerno raspoređena unutar kruga, što znači da je u pitanju uniformna raspodela, tj. [inlmath]f\left(A\right)=c=\mathrm{const}[/inlmath],
[dispmath]\int\limits_{\Large\circ}c\cdot\mathrm dA=1\quad\Rightarrow\quad c\int\limits_{\Large\circ}\mathrm dA=1\quad\Rightarrow\quad c\cdot\pi a^2=1\quad\Rightarrow\quad c=\frac{1}{\pi a^2}[/dispmath]

---

Ja se, zasad, neću baviti uopštavanjem i uvećavanjem broja dimenzija, već ću, naprotiv, krenuti u suprotnom smeru.
Posmatraću jednodimenzionalni sistem, [inlmath]\underline{n=1}[/inlmath]. Iliti, pravu, čiji koordinatni sistem predstavljamo kao brojevnu pravu.

Ovaj zadatak, sveden na prostor [inlmath]R^1[/inlmath] (tj. na pravu) glasio bi:
Slučajna tačka [inlmath]X[/inlmath] ravnomerno je raspoređena unutar duži dužine [inlmath]2a[/inlmath]. Naći matematičko očekivanje rastojanja tačke od središta duži.

Postavimo središte duži u tačku [inlmath]0[/inlmath] brojevne prave. Posmatrana duž tada obuhvata segment između tačaka [inlmath]-a[/inlmath] i [inlmath]a[/inlmath] na brojevnoj pravoj.
Gustina raspodele slučajne promenljive [inlmath]K[/inlmath] je [inlmath]\frac{1}{2a}[/inlmath] (recipročna vrednost dužine duži). Matematičko očekivanje rastojanja tačke od središta duži tada je:
[dispmath]E\left(K\right)=\int\limits_l\frac{1}{2a}\left|x\right|\mathrm dx=\frac{1}{2a}\int\limits_{-a}^a\left|x\right|\mathrm dx=-\frac{1}{2a}\int\limits_{-a}^0x\mathrm dx+\frac{1}{2a}\int\limits_0^ax\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=-\left.\frac{1}{2a}\cdot\frac{x^2}{2}\right|_{-a}^0+\left.\frac{1}{2a}\cdot\frac{x^2}{2}\right|_0^a=-\frac{1}{2a}\left(-\frac{\left(-a\right)^2}{2}\right)+\frac{1}{2a}\cdot\frac{a^2}{2}=\frac{a}{4}+\frac{a}{4}=\frac{a}{2}[/dispmath]
što je rezultat koji je u saglasnosti s hipotezom [inlmath]E\left(K\right)=\frac{n}{n+1}a[/inlmath] za [inlmath]n=1[/inlmath].

Naravno, jasno je da ovime hipoteza nije dokazana, ali dobijeni rezultat svakako ide u prilog istoj.

---

[inlmath]\underline{n=0}[/inlmath]
Iliti, prostor bez dimenzija. U takvom prostoru [inlmath]R^0[/inlmath], koji predstavlja samo jednu tačku, prema posmatranoj hipotezi, važilo bi da je [inlmath]E\left(K\right)=0[/inlmath] – što je i logično, jer slučajno izabrana tačka u takvom „prostoru“ koji se sastoji samo od tačke – mogla bi biti jedino ta tačka, prema tome, rastojanje slučajno izabrane tačke od te tačke koja predstavlja prostor [inlmath]R^0[/inlmath] uvek bi bilo nula, pa je i matematičko očekivanje takvog rastojanja – takođe nula.
Dakle, još jedan rezultat u prilog našoj hipotezi.

---

[inlmath]\underline{n=-1}[/inlmath]
Ne, ovo je već previše za mene...

(A i naša hipoteza bi za taj slučaj dala deljenje nulom. )

Daniel je napisao:Zbog čega „po tvojoj pretpostavci“? Nije to samo pretpostavka, lako se dokazuje da to jeste tako. Pošto je verovatnoća da se data tačka nađe unutar kruga jednaka jedinici,
[inlmath]P=∫f(A)dA=1[/inlmath]

Nisam baš dobro citirao, izvinjavam se, Daniel je zapravo stavio (u svom postu) određeni integral nad nekom oblašću (ja to nisam uspeo da iscitiram kako treba, a često kritikujem korisnike za Latex, sram me bilo ), ali to je stvarno to.
Dalje:

Daniel je napisao:Ovaj zadatak, sveden na prostor [inlmath]R^1[/inlmath] (tj. na pravu) glasio bi:
Slučajna tačka [inlmath]X[/inlmath] ravnomerno je raspoređena unutar duži dužine [inlmath]2a[/inlmath]. Naći matematičko očekivanje rastojanja tačke od središta duži.

Tek ovo mi se mnogo svidelo . Kao i ceo dokaz nakon toga.

Dalje, ja sam danas pokušao (kad već načeh temu) da uradim u [inlmath]R^4[/inlmath]. Lako mi je za "hiperrastojanje":
[dispmath]\sqrt{x^2+y^2+z^2+t^2}[/dispmath]
Ali mi bi frka za "hiperzapreminu" "hipersfere" iliti "hiperlopte" u prostoru [inlmath]R^4[/inlmath]. Ok, četvorostruki integral, ne bojim se ni [inlmath]n[/inlmath]-tostrukih dok je Matemanije ali kako?
Probao sam da, znajući da je zapremina realne lopte u [inlmath]R^3[/inlmath] zapravo trojni integral, probam da uradim četvorostruki "od-do". I nikako .

A osnovna ideja mi je da se ova hipoteza (ili "hipoteza" ) dokaže baš na Matemaniji, matematičkom indukcijom. A ima nas

Daniel je napisao:[inlmath]\underline{n=-1}[/inlmath]
Ne, ovo je već previše za mene...

(A i naša hipoteza bi za taj slučaj dala deljenje nulom. )

E, ovde si me baš ubedačio
Šalim se naravno, ja mislim da je samo Danielu moglo pasti na pamet da razmišlja o negativnim prostorima u matematici (možda k'o crne rupe u fizici ), ja ne znam da se time iko bavio, ali svaka čast za ideju

desideri je napisao:Dalje, ja sam danas pokušao (kad već načeh temu) da uradim u [inlmath]R^4[/inlmath]. Lako mi je za "hiperrastojanje":
[dispmath]\sqrt{x^2+y^2+z^2+t^2}[/dispmath]
Ali mi bi frka za "hiperzapreminu" "hipersfere" iliti "hiperlopte" u prostoru [inlmath]R^4[/inlmath]. Ok, četvorostruki integral, ne bojim se ni [inlmath]n[/inlmath]-tostrukih dok je Matemanije ali kako?
Probao sam da, znajući da je zapremina realne lopte u [inlmath]R^3[/inlmath] zapravo trojni integral, probam da uradim četvorostruki "od-do". I nikako .

A osnovna ideja mi je da se ova hipoteza (ili "hipoteza" ) dokaže baš na Matemaniji, matematičkom indukcijom. A ima nas

Izveo sam formulu za „hiperzapreminu“ „hiperlopte“ u ovoj temi. A dalji račun oko matematičkog očekivanja u [inlmath]R^4[/inlmath], četvorostrukog integrala (možda i hipersfernih koordinata?)... prepustio bih drugima

Pogledao sam.

Daniel je napisao:Izveo sam formulu za „hiperzapreminu“ „hiperlopte“ u ovoj temi.

Ne znam da je iko primenio ovako originalan postupak za prostore višeg reda.
Obrazložiću:
Za površinu kruga može i običan, može i dvojni integral uz prostu primenu polarnih koordinata tj. polarnih smena.
Za zapreminu sfere (iliti lopte) može trojni integral uz prostu primenu sfernih koordinata (ima nešto na tu temu ovde).
Ali sve navedeno nije ostvarivo za prostore višeg reda. Jednostavno, ne postoje tipične smene, koliko ja znam.
Zato molim sve korisnike da obrate pažnju na Temu.
Sa velikim slovom "T".