MATEMANIJA

Odrediti verovatnocu da slucajno izabrana tetiva kruznice bude veca od stranice jednakostranicnog trougla koji je upisan u tu kruznicu. U zbirci ne pise postupak vec samo 3 razlicita slucaja i 3 verovatnoce. Ja ne mogu da dobijem nikakvo resenje. Ovde imam duzi a ne povrsine kako onda da racunam?

Poznata su mi ta tri pristupa. Dobiju se tri različita rezultata jer nije detaljno definisan način slučajnog izbora tačaka.
Ja sam to davno radio na četvrti način, preko geometrijske definicije verovatnoće:
Tetiva varira od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]2r[/inlmath].
Stranica trougla [inlmath]a[/inlmath] izrazi se preko [inlmath]r[/inlmath], tj. preko poluprečnika opisanog kruga.
Dobijem:
[dispmath]P(A)=\frac{\text{mera }g}{\text{mera }G}=1-\frac{\sqrt3}{2}[/dispmath]
Bitno je napomenuti da mera nije obavezno površina. Može biti npr. dužina ili zapremina.

To sam i ja dobio, oduzeo sam od precnika duzinu stranice trougla i podelio sa precnikom. Ali kako se dobijaju ove ostale?

Budući da, kako Desideri reče, nije detaljno definisan način slučajnog izbora tačaka, moguće je problem postaviti i na sledeće načine:

– Izabereš teme [inlmath]A[/inlmath] jednakostraničnog trougla i povučeš tangentu na kružnicu kroz to teme. Dužinu tetive iz tačke [inlmath]A[/inlmath] posmatraš u funkciji ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] koji ta tetiva zaklapa s tangentom. Za [inlmath]0<\alpha<60^\circ[/inlmath], kao i za [inlmath]120^\circ<\alpha<180^\circ[/inlmath] tetiva je manja od stranice jednakostraničnog trougla, dok je za [inlmath]60^\circ<\alpha<120^\circ[/inlmath] veća od stranice jednakostraničnog trougla. Odatle sledi da je tražena verovatnoća jednaka [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath].

– Izabereš proizvoljnu tačku unutar kruga, i kroz nju povučeš tetivu čije je središte ta tačka. Dobijena tetiva će biti veća od stranice jednakostraničnog trougla ukoliko se izabrana tačka nalazi unutar kružnice upisane u jednakostraničan trougao, u suprotnom biće manja. Tražena verovatnoća je jednaka odnosu površina upisane kružnice u jednakostranični trougao i kružnice opisane oko njega, a to je [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath].

– Isto kao u prethodnom načinu, izabereš proizvoljnu tačku unutar kruga, neka je to tačka [inlmath]M[/inlmath]. Povučeš poluprečnik [inlmath]\overline{ON}[/inlmath] takav da sadrži tačku [inlmath]M[/inlmath]. Jednakostranični trougao upisan u kružnicu postaviš tako da mu jedna stranica seče poluprečnik [inlmath]\overline{ON}[/inlmath] pod pravim uglom. Presek te stranice jednakostraničnog trougla i poluprečnika [inlmath]\overline{ON}[/inlmath] obeleži sa [inlmath]P[/inlmath]. Ako se tačka [inlmath]M[/inlmath] nalazi unutar duži [inlmath]\overline{OP}[/inlmath], tada je tetiva čije je središte tačka [inlmath]M[/inlmath] veća od stranice jednakostraničnog trougla, u suprotnom je manja. Kako je duž [inlmath]\overline{OP}[/inlmath] jednaka polovini poluprečnika [inlmath]\overline{ON}[/inlmath], zaključujemo da je tražena verovatnoća jednaka [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath].

Ja sam i zaboravio da sam pitao to. Odradio sam sve iz verovatnoce iz Veneove zbirke i knjige a kako sam uradio zadatak na jedan nacin pustio sam mozak na ispasu. Zahvaljujem na odgovoru.

U sva tri rešenja jeste pokrivena cela površina trougla ali nisu generisane sve tetive. Sve tetive se generišu slučajnim izborom dve tačke koje su krajevi tetive, s rasponu si od [inlmath]0[/inlmath] do obima kruga.
Uz dati uslov lako se dobije da je verovatnoća [inlmath]\frac{4}{9}[/inlmath].
Tako da ovo nije paradoks.

miki069 je napisao:Uz dati uslov lako se dobije da je verovatnoća [inlmath]\frac{4}{9}[/inlmath].

Bilo bi dobro da navedeš ceo postupak kojim si došao do navedenog rezultata (pretpostavljam da postupak nije dugačak, pošto se, kako si naveo, lako dobija navedena verovatnoća). Inače, nije moguće prihvatiti ili osporiti tvoje rešenje.

Radio sam bez slike, tako da sam pogrešno izračunao.
Verovatnoća je približno [inlmath]52.5\%[/inlmath].

Kako da ubacim sliku ili pdf dokument od 53kB?

Ipak sam bolje uradio bez slike.
U predhodnom postu sam pobrkao dužinu tetive i dužinu kružnog luka.
Verovatnoća je [inlmath]\frac{4}{9}[/inlmath].

Evo rešenja za [inlmath]\frac{4}{9}[/inlmath] u prilogu.

---

[inlmath]\enclose{box}{a=r\sqrt3}\quad[/inlmath] Biramo proizvoljne tačke [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] na kružnici [inlmath]k[/inlmath].

[inlmath]x\in[0,2r\pi]\;\land\;y\in[0,2r\pi][/inlmath]

[inlmath]d(x,y)>a\;\Longrightarrow\;[/inlmath] na kružnom luku [inlmath]\overset{\frown}{xy}[/inlmath]
[inlmath]\enclose{box}{|y-x|>\frac{2r\pi}{3}}[/inlmath]


[dispmath]P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega)}\\
m(\Omega)=(2r\pi)^2=\enclose{box}{4r^2\pi^2}\\
m(A)=m(A_1)+m(A_2)=\left(\frac{4r\pi}{3}\right)^2=\enclose{box}{\frac{16}{9}r^2\pi^2}\\
\enclose{box}{P(A)=\frac{4}{9}}[/dispmath]