MATEMANIJA

Odrediti verovatnocu da slucajno izabrana tetiva kruznice bude veca od stranice jednakostranicnog trougla koji je upisan u tu kruznicu. U zbirci ne pise postupak vec samo 3 razlicita slucaja i 3 verovatnoce. Ja ne mogu da dobijem nikakvo resenje. Ovde imam duzi a ne povrsine kako onda da racunam?

Poznata su mi ta tri pristupa. Dobiju se tri različita rezultata jer nije detaljno definisan način slučajnog izbora tačaka.
Ja sam to davno radio na četvrti način, preko geometrijske definicije verovatnoće:
Tetiva varira od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]2r[/inlmath].
Stranica trougla [inlmath]a[/inlmath] izrazi se preko [inlmath]r[/inlmath], tj. preko poluprečnika opisanog kruga.
Dobijem:
[dispmath]P(A)=\frac{\text{mera }g}{\text{mera }G}=1-\frac{\sqrt3}{2}[/dispmath]
Bitno je napomenuti da mera nije obavezno površina. Može biti npr. dužina ili zapremina.

To sam i ja dobio, oduzeo sam od precnika duzinu stranice trougla i podelio sa precnikom. Ali kako se dobijaju ove ostale?

Budući da, kako Desideri reče, nije detaljno definisan način slučajnog izbora tačaka, moguće je problem postaviti i na sledeće načine:

– Izabereš teme [inlmath]A[/inlmath] jednakostraničnog trougla i povučeš tangentu na kružnicu kroz to teme. Dužinu tetive iz tačke [inlmath]A[/inlmath] posmatraš u funkciji ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] koji ta tetiva zaklapa s tangentom. Za [inlmath]0<\alpha<60^\circ[/inlmath], kao i za [inlmath]120^\circ<\alpha<180^\circ[/inlmath] tetiva je manja od stranice jednakostraničnog trougla, dok je za [inlmath]60^\circ<\alpha<120^\circ[/inlmath] veća od stranice jednakostraničnog trougla. Odatle sledi da je tražena verovatnoća jednaka [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath].

– Izabereš proizvoljnu tačku unutar kruga, i kroz nju povučeš tetivu čije je središte ta tačka. Dobijena tetiva će biti veća od stranice jednakostraničnog trougla ukoliko se izabrana tačka nalazi unutar kružnice upisane u jednakostraničan trougao, u suprotnom biće manja. Tražena verovatnoća je jednaka odnosu površina upisane kružnice u jednakostranični trougao i kružnice opisane oko njega, a to je [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath].

– Isto kao u prethodnom načinu, izabereš proizvoljnu tačku unutar kruga, neka je to tačka [inlmath]M[/inlmath]. Povučeš poluprečnik [inlmath]\overline{ON}[/inlmath] takav da sadrži tačku [inlmath]M[/inlmath]. Jednakostranični trougao upisan u kružnicu postaviš tako da mu jedna stranica seče poluprečnik [inlmath]\overline{ON}[/inlmath] pod pravim uglom. Presek te stranice jednakostraničnog trougla i poluprečnika [inlmath]\overline{ON}[/inlmath] obeleži sa [inlmath]P[/inlmath]. Ako se tačka [inlmath]M[/inlmath] nalazi unutar duži [inlmath]\overline{OP}[/inlmath], tada je tetiva čije je središte tačka [inlmath]M[/inlmath] veća od stranice jednakostraničnog trougla, u suprotnom je manja. Kako je duž [inlmath]\overline{OP}[/inlmath] jednaka polovini poluprečnika [inlmath]\overline{ON}[/inlmath], zaključujemo da je tražena verovatnoća jednaka [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath].

Ja sam i zaboravio da sam pitao to. Odradio sam sve iz verovatnoce iz Veneove zbirke i knjige a kako sam uradio zadatak na jedan nacin pustio sam mozak na ispasu. Zahvaljujem na odgovoru.

U sva tri rešenja jeste pokrivena cela površina trougla ali nisu generisane sve tetive. Sve tetive se generišu slučajnim izborom dve tačke koje su krajevi tetive, s rasponu si od [inlmath]0[/inlmath] do obima kruga.
Uz dati uslov lako se dobije da je verovatnoća [inlmath]\frac{4}{9}[/inlmath].
Tako da ovo nije paradoks.

miki069 je napisao:Uz dati uslov lako se dobije da je verovatnoća [inlmath]\frac{4}{9}[/inlmath].

Bilo bi dobro da navedeš ceo postupak kojim si došao do navedenog rezultata (pretpostavljam da postupak nije dugačak, pošto se, kako si naveo, lako dobija navedena verovatnoća). Inače, nije moguće prihvatiti ili osporiti tvoje rešenje.

Radio sam bez slike, tako da sam pogrešno izračunao.
Verovatnoća je približno [inlmath]52.5\%[/inlmath].

Kako da ubacim sliku ili pdf dokument od 53kB?

Ipak sam bolje uradio bez slike.
U predhodnom postu sam pobrkao dužinu tetive i dužinu kružnog luka.
Verovatnoća je [inlmath]\frac{4}{9}[/inlmath].

Evo rešenja za [inlmath]\frac{4}{9}[/inlmath] u prilogu.

---

[inlmath]\enclose{box}{a=r\sqrt3}\quad[/inlmath] Biramo proizvoljne tačke [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] na kružnici [inlmath]k[/inlmath].

[inlmath]x\in[0,2r\pi]\;\land\;y\in[0,2r\pi][/inlmath]

[inlmath]d(x,y)>a\;\Longrightarrow\;[/inlmath] na kružnom luku [inlmath]\overset{\frown}{xy}[/inlmath]
[inlmath]\enclose{box}{|y-x|>\frac{2r\pi}{3}}[/inlmath]


[dispmath]P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega)}\\
m(\Omega)=(2r\pi)^2=\enclose{box}{4r^2\pi^2}\\
m(A)=m(A_1)+m(A_2)=\left(\frac{4r\pi}{3}\right)^2=\enclose{box}{\frac{16}{9}r^2\pi^2}\\
\enclose{box}{P(A)=\frac{4}{9}}[/dispmath]

Najpre da ti skrenem pažnju na neprecizno izražavanje. Govoriš o tačkama x i y a onda x i y posmatraš kao brojeve. Korektno bi bilo ako na kružnici odaberemo jednu tačku (slično kao na trigonometrijskoj kružnici) a onda, krećući se po kružnici, merimo pređeni put-rastojanje (u radijanima) od te uočene tačke. Položaj tačke na kružnici određuje njena koordinata-rastojanje od uočene tačke. A onda odaberemo dve tačke koje će određivati tetivu. Neka su koordinate tih tačaka x i y.
Navedeni uslovi koje x i y treba da zadovolje, jesu tačni. Međutim, da bi tetiva bila veća od stranice jednakostraničnog trougla, treba da bude ispunjen i četvrti uslov[dispmath]|y-x|<2\cdot \frac{2r\pi}{3}[/dispmath] Ako uzmeš u obzir i ovaj uslov, izračunaćeš da je tražena verovatnoća [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath] .

Tako sam i računao.
Odredi se da je jedna tačka koordinatni početak, a x i y su udaljenosti krajeva tetive do koordinatnog početka, mereno na kružnom luku.
Nije mi jasno zbog čega treba taj četvrti uslov?

Fizički model je bacanje štapa na krug i merenje dužine tetive.
To su savremenici Bertrana i radili i u velikom broju bacanja dobili oko 48%.
Rezultat je 44.44%.
Po meni.

miki069 je napisao:Tako sam i računao....

Znam da si tako računao, ali to treba i eksplicitno napisati. Shvatio sam kako računaš, a verujem da nisam jedini, tek pošto sam analizirao uslove koje navodiš. Kada nešto objašnjavamo odnosno pišemo, treba to raditi precizno i nedvosmisleno ( a i pravilnik foruma to nalaže ).
Ako ti nije jasno zašto je potreban četvrti uslov, skiciraj kružnicu sa upisanim jednakostraničnim trouglom. Jedno teme trougla obeleži sa P. Neka je tačka P koordinatni početak. Tačka P ima koordinatu nula, odnosno [inlmath]x=0[/inlmath]. Sada odaberi tačku Q sa koordinatom [inlmath]y[/inlmath], ali tako da bude [dispmath]2\cdot \frac{2r\pi}{3}\le y\le 3\cdot \frac{2r\pi}{3}[/dispmath] a onda skiciraj tetivu [inlmath]PQ[/inlmath]. Kakva je njena dužina?

Jasan mi je četvrti uslov.
Rešenje je 1/3.
Paradoks ne postoji.

Kako bi izgledao program koji bi simulirao problem?
Fizički model je štap koji se baca tako da seče krug.

Nije teško napisati program.
Model bi bila centralna jedinična kružnica.
Priložiću kod i rezultate.

Mislim da je "generator" napisan bez greške.

Na velikom broju uzoraka verovatnoća konvergira ka 0.36332774..
To nije ni 4/9 niti 1/3.

Najpribližnije je broju 1/e.

Možda generator nije dobar, jer sam birao samo random x-koordinatu, a y računao tako da bude na kružnici. Prepraviću ga tako da biram random dve tačke u krugu, a onda prava kroz te dve tačke i presek prave i kružnice.

Posle dovođenja generatora u 100% ispravno stanje i puštanje na uzorku od milijardu tetiva, rezultat je 21.666635%.
Ako je racionalan broj onda je 13/60.

Revidiram stav. Programče koje bira dve tačke unutar kruga je beskorisna masa, jer za datu tetivu postoji beskonačno tačaka na datoj tetivu koje generišu istu. Rešenje je 1/3. Okačiću sliku sa ispravnim rešenjem. Paradoks ne postoji.
Napisaću i programče koje bira dve tačke na kružnici.
Samo će to mnogo sporo da radi.

U Dekartovim pravouglim koordinatama sporo. U polarnim koordinatama će da radi mnogo brzo. Kad završim šaljem rezultat.

Posle generisanja svih tetiva, rezultat je 1/3.

Paradoks ne postoji.

U skladu sa ispravkom kolege Jansa, prilažem konačno rešenje.

Daniel je u jednoj od prethodnih poruka, pošto u zadatku nije detaljno definisan način slučajnog izbora tačaka, naveo tri različita načina rešavanja problema. A miki069 predlaže još jedan, četvrti način, koji je u redu i sa dobro izračunatom verovatnoćom. Međutim, ovaj četvrti način i prvi način u Danielovoj poruci, osim što imaju iste rezultate ( verovatnoće ), po mom mišljenju, jesu ekvivalentni.
Obrazložiću ovu konstataciju, ali prvo da napomenem da tražena verovatnoća ne zavisi od dužine poluprečnika kružnice, pošto se u razlomku prilikom izračunavanja verovatnoće, poluprečnik skrati. Zbog toga možemo smatrati da je poluprečnik [inlmath]r=1[/inlmath].
U prvom slučaju konstruišemo tangentu u tački [inlmath]A[/inlmath] kružnice. Tetive kružnice koje polaze iz tačke [inlmath]A[/inlmath], generiše pramen pravih određen tačkom [inlmath]A[/inlmath] . Neka je [inlmath]\alpha[/inlmath] ugao između tangente i prave pramena [inlmath]( 0^o <\alpha <180^o )[/inlmath].Tetiva će biti duža od stranice jednakostraničnog trougla, ako je [inlmath]60^o <\alpha <120^o[/inlmath], pa sledi da je tražena verovatnoća [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath]. Prave koje određuju tetive duže od stranice jednakostraničnog trougla, seku kružnicu u tačkama čija koordinata zadovoljava uslov [inlmath]\frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}[/inlmath]. Prema tome tetivu koja polazi iz tačke [inlmath]A[/inlmath] ( sa koordinatom 0 ) a duža je od stranice jednakostraničnog trougla , određuje jedna slučajna promenljiva – koordinata [inlmath]x[/inlmath], koja zadovoljava uslov [dispmath]\frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}.[/dispmath].
U četvrtom slučaju odaberemo jednu tačku koja će biti koordinatni početak na kružnici ( tačku [inlmath]A[/inlmath] ). Tetivu određuju dve tačke, odnosno njihove koordinate - dve slučajne promenljive [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] iz intervala [inlmath](0,2\pi)[/inlmath]. Tetiva će biti duža od stranice jednakostraničnog trougla ako dužina luka određenog tim tačkama, odnosno [inlmath]|y-x|[/inlmath], zadovoljava uslov [inlmath]\frac{2\pi}{3}<|y-x|<\frac{4\pi}{3}[/inlmath]. Pošto su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] iz intervala [inlmath](0,2\pi)[/inlmath], sledi da je i [inlmath]|y-x|[/inlmath] iz tog intervala. Neka je [inlmath]z=|y-x|[/inlmath]. Pošto je apsolutna vrednost razlike slučajnih promenljivih [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] takođe slučajna promenljiva, imamo slučajnu promenljivu [inlmath]z[/inlmath] koja uzima vrednosti iz intervala [inlmath](0,2\pi)[/inlmath]. Tetiva određena promenljivom [inlmath]z[/inlmath] je duža od stranice jednakostraničnog trougla ako je [dispmath]\frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}.[/dispmath] A to su uslovi isti kao uslovi u prvom slučaju.