MATEMANIJA

Pozdrav.

Imam problem da shvatim granicne vrednosti u sigma algebri.

Recimo [inlmath]\liminf A_n[/inlmath], gde su [inlmath]A_n[/inlmath] dogadjaji je definisan kao [inlmath]\displaystyle \bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{k \ge n} A_k[/inlmath]. Slicno je i za [inlmath]\limsup A_n[/inlmath], samo je ovo presek unija. Nije mi jasno sta je [inlmath]k[/inlmath], ako su [inlmath]n[/inlmath] dogadjaji kojih ima beskonacno mnogo.

U skripti mi pise za [inlmath]\liminf[/inlmath] : Za neko [inlmath]n[/inlmath] se realizuju svi [inlmath]A_k[/inlmath], [inlmath]k \ge n[/inlmath], tj realizuju se svi osim konacno mnogo [inlmath]A_n[/inlmath]-ova. A za [inlmath]\limsup[/inlmath]: Za svako [inlmath]n[/inlmath] se realizuje neko [inlmath]A_k[/inlmath], [inlmath]k \ge n[/inlmath] tj. realizuje se beskonacno mnogo [inlmath]A_n[/inlmath]-ova. A zar ovo ne znaci beskonacno u oba slucaja: svi sem konacno mnogo, i beskonacno mnogo?

Ne znam kako da shvatim granicne vrednosti dogadjaja, znam sta je granicna vrednost funkcije, ali ovo ne razumem.

Hvala unapred

Svi sem konacno mnogo i beskonacno mnogo nije isto, jer u prvom slucaju ostaje konacno njih koji se nisu ostvarili, dok u drugom slucaju moze ostati i beskonacno mnogo njih koji se nisu ostvarili.

Da bi video da vaze ove interpretacije, kreni i rastavljaj. Naime, mozes radi jednostavnosti da [inlmath]\displaystyle \bigcap_{k \ge n} A_k[/inlmath] obelezis sa [inlmath]B_n[/inlmath], tj. [inlmath]\displaystyle \bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{k \ge n} A_k = \bigcup_{n \ge 1} B_n[/inlmath]. Tada imamo [dispmath]x \in \liminf_{n \to \infty} A_n \iff x \in \bigcup_{n \ge 1} B_n \iff \exists n \in \mathbb{N} \quad x \in B_n=\bigcap_{k \ge n} A_k \iff \exists n \in \mathbb{N} \quad \forall k \ge n \quad x \in A_k.[/dispmath]
To upravo znaci da postoji neko [inlmath]n \in \mathbb{N}[/inlmath] takvo da za sve [inlmath]k \ge n[/inlmath] vazi da [inlmath]x[/inlmath] pripada [inlmath]A_k[/inlmath], tj. [inlmath]x \in A_n[/inlmath] (i za sve preko) pocevsi od nekog [inlmath]n[/inlmath], tj. [inlmath]x \notin A_n[/inlmath] samo za konacno mnogo njih (prvih [inlmath]n-1[/inlmath] clanova, pri cemu je [inlmath]n[/inlmath] konacno i fiksirano (i zavisi od [inlmath]x[/inlmath], tj. za razlicite elemente iz [inlmath]\liminf[/inlmath] imaces razlicite [inlmath]n[/inlmath])).

Slicno je za limes superior. Takodje, onda iz tih samih definicija vidis da uvek vazi [inlmath]\displaystyle\liminf_{n \to \infty} A_n \subseteq \limsup_{n \to \infty} A_n[/inlmath], sto se i dalo za ocekivati.

Inace, ovde je slicna analogija kao i kad se pokazuje da vazi [inlmath]\displaystyle \liminf_{n\to \infty} x_n = \sup_{n \ge 1} \inf_{k \ge n} x_k[/inlmath] za neki niz realnih brojeva [inlmath]\{x_n\}_{n=1}^\infty[/inlmath].

Hvala za ovo, samo ja ne kapiram sta je to granicna vrednost ovde. Znam da je za funkciju granicna vrednost vrednost slike funkcije kojoj funkcija tezi, kada argument funkcije tezi nekoj vrednosti. Ali ovde ne razumem sta je. Jel je granicna vrednost neka tacka nagomilavanja blizu koje dogadjaji imaju vece sanse da se realizuju nego oni udaljeniji od nje?